[論文レビュー] On averages of randomized class functions on the symmetric groups and their asymptotics

Paul-Olivier Dehaye, Dirk Zeindler|ArXiv.org|Nov 20, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、対称群上の置換行列の特性多項式の研究を一般化し、独立的または各サイクルごとにランダム化された固有値シフトを導入することで、任意の正則関数および交代群やウェイリーグループなどの他の群へと枠組みを拡張する。主な貢献は、サイクル長分布を分析するためにフェラー結合を用いることで得られる、モーメントの明示的母関数およびn→∞における漸近的結果である。

ABSTRACT

The second author had previously obtained explicit generating functions for moments of characteristic polynomials of permutation matrices (n points). In this paper, we generalize many aspects of this situation. We introduce random shifts of the eigenvalues of the permutation matrices, in two different ways: independently or not for each subset of eigenvalues associated to the same cycle. We also consider vastly more general functions than the characteristic polynomial of a permutation matrix, by first finding an equivalent definition in terms of cycle-type of the permutation. We consider other groups than the symmetric group, for instance the alternating group and other Weyl groups. Finally, we compute some asymptotics results when n tends to infinity. This last result requires additional ideas: it exploits properties of the Feller coupling, which gives asymptotics for the lengths of cycles in permutations of many points.

研究の動機と目的

• 標準的な場合を越えて、置換行列の特性多項式のモーメントをランダム固有値シフトを導入することで一般化すること。
• 多項式から正則関数への分析の拡張を図り、組合せ的構造を保ちながら固有値の関数として扱うこと。
• 対称群およびその部分群（交代群、古典的リー群のウェイリーグループを含む）におけるモーメントの明示的母関数を計算すること。
• n→∞におけるこれらのモーメントの漸近的挙動を導出し、特に|x|<1のときを対象とすること。
• サイクル型分解とフェラー結合のような確率的道具を用いて、以前の結果を統一的かつ簡素化すること。

提案手法

• 置換行列の特性多項式を、各長さlのサイクルごとの積∏(1−x^l)として再定式化する。
• 2つのランダム化モデルを導入する：1つは各固有値が独立に回転される（W¹）、もう1つは各サイクル内での固有値が同時に回転される（W²）。
• 共役類とサイクル指標に関する組合せ的補題を用いて、ランダム化クラス関数のモーメントの母関数を導出する。
• フェラー結合を用いて、ランダム置換におけるサイクル長の漸近的分布をモデル化し、漸近的解析を可能にする。
• ∏(1 + x^k t)^{-b_k}を含む母関数の恒等式を用いて、正則関数fに対するモーメント母関数を表現する。
• 正規化により漸近的解析をb₀=1のケースに還元し、収束定理を適用して極限分布を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイクルごとまたは独立にランダム化された固有値シフトは、対称群上のクラス関数のモーメント母関数にどのように影響するか？
• RQ2 n→∞におけるこれらのモーメントの漸近的挙動はいかなるものか、特に固有値の正則関数に対しては？
• RQ3 モーメントの母関数は多項式を超えて正則関数へと拡張可能か？その構造はどのようなものか？
• RQ4 結果は交代群やSO(2n)、SO(2n+1)、SU(n)などの他の群へどのように一般化されるか？
• RQ5 特にf(x)=1/(1−x)のとき、漸近的極限でどのような関数方程式やモジュラー性が現れるか？

主な発見

• 多項式関数fに対して、S_n上でのモーメント母関数は∏_{k=0}^∞ (1 + x^k t)^{-b_k}で与えられ、ここでb_kはfの係数である。
• b₀=1である正則関数fに対して、E[Wⁿ(f)(x)]のn→∞における極限は∏_{k=1}^∞ (1 - x^k)^{-1}であり、x=e^{2πiτ}（τが上半平面に属するとき）では定数倍を除きデデキンドのエータ関数に一致する。
• W¹(f)(x)の漸近的分布は非退化な極限に収束し、2通りの異なる方法で収束が証明されている。
• SO(2n)のウェイリーグループに対して、モーメント母関数は∏_{k₁,k₂: 2|(k₁−k₂)} (1 - x₁^{k₁}x₂^{k₂}t)^{(-1)^{k₁+k₂+1} inom{s₁}{k₁}inom{s₂}{k₂}}で与えられる。
• SO(2n+1)に対しては、交代群の構造に起因して(1 - x₁^{k₁}x₂^{k₂}t)と(1 + x₁^{k₁}x₂^{k₂}t)の両方の項が含まれる。
• SU(n)に対しては、ウェイリーグループのトレースゼロ条件を反映するために、(1−x₁)^{-s₁}(1−x₂)^{-s₂}の係数が調整されている。