[論文レビュー] On Averaging for Hamiltonian Systems with One Fast Phase and Small Amplitudes

J. Bruening, S. Yu. Dobrokhotov+1 more|ArXiv.org|May 19, 2001

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、1つの高速位相と小さな振幅をもつハミルトニアン系、特に I=0 の近傍で標準的な解析性が崩れる場合に、一様な平均化手法を開発する。著者らは、I=0 まで一様に解析性を保つ実解析的正準変換を構築することで、平均化ハミルトニアンにおける指数的になめらかな誤差項を達成し、低ランダウ準位のような物理的に重要な領域における平均化手法の厳密な適用を可能にする。

ABSTRACT

The problem of averaging for systems with one fast phase was considered from various points of view in many papers. The averaging method of Krylov and Bogolyubov and methods of KAM theory originated this line of research, the most complete results were obtained by Neishtadt, where the coefficients are assumed real analytic. However, in many problems which are interesting from the point of view of applications, analytic dependence ceases to hold in the neighborhoods of some points. We show that one can choose a transformation such that the averaging procedure of Neishtadt is applicable in these neighborhoods and such passage to limit is uniform.

研究の動機と目的

• 1つの高速位相をもつハミルトニアン系において、I=0 の近傍で標準的な平均化手法の解析性の崩壊を解消すること。
• 原点を含む I=0 の近傍で一様収束を保証する解析的正準変換を構築すること。
• 従来、I=0 から離れた解析的系に限られていた平均化手法の適用範囲を、量子ホール系における低ランダウ準位のような物理的に重要な領域へ拡張すること。
• I→0 の極限においても平均化手続きが有効であり、一様収束を保つようにすること。これにより、従来のKAMに基づく手法の限界を克服する。

提案手法

• ハミルトニアンの構造を保ちつつ高速位相依存性を除去する形の正準変換 (q,p,y₁,y₂) → (Q,P,z₁,z₂) を実解析的に行う。
• I=0 の近傍における I への非解析的依存性に対処できるように、生成関数の適切な選択により、変更を加えたKrylov-Bogolyubov平均化法を適用する。
• 複素近傍とコーシー型推定を用いたパラメトリックアプローチにより、変換後のハミルトニアンにおける剰余項の大きさを制御する。
• 繰り返し変換を用いて、摂動項 gᵢ を指数的に小さくする。これにより、I=0 の近傍でも収束を保証する。
• 位相平均化された部分と振動的成分の積分表現を用いて生成関数 W を定義し、適切な積分定数の選択により解析性を保証する。
• コーシー推定と導関数に対する繰り返しバウンディングを用いて誤差項の成長を制御し、ε に対して指数的減衰を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非摂動的ハミルトニアン系において、I=0 の近傍で解析性が失われる場合、平均化手法を1つの高速位相をもつ系に拡張することは可能か？
• RQ2 I=0 の近傍の全領域で解析的かつ一様収束を保証する正準変換を構築することは可能か？
• RQ3 ε→0 の極限において、I=0 においても平均化ハミルトニアンの剰余項を指数的に小さくすることは可能か？
• RQ4 原点近辺での作用変数への非解析的依存性に対処するため、標準的なKAM型平均化手順にどのような修正が必要か？

主な発見

• 著者らは、元のハミルトニアンを指数的になめらかな剰余項をもつ平均化形式に写像する実解析的正準変換を構築した。|gᵣ| + |∇gᵣ| < c₂ exp(−1/(c₁ε)) が成り立つ。
• この変換により、I→0 の極限においても一様収束が保証され、原点近辺で標準的手法が無効になる解析性の崩壊を克服する。
• r ≈ k₉/ε 回の反復後、誤差項が指数的に小さくなる。r は ε₀, δ, C, および κ に依存する。
• 変換後の変数および摂動項のバウンディングは I に対して一様であり、|Q¹| + |P¹| + |Z₁¹| + |Z₂¹| < c₃ および |ℋᵣ − ℋ₀| < c₄ε が成り立つ。
• 領域の複素δ近傍で手続きが有効であり、コーシー推定により解析性と収束性が保証される。
• この結果により、周期的電場と定常磁場をもつランダウ問題のような系において、厳密な平均化が可能となり、I≈0 の低エネルギー状態が物理的に重要である領域でも適用可能になる。