[論文レビュー] On Az\'ema-Yor processes, their optimal properties and the Bachelier-drawdown equation

Carraro, Laurent, Nicole El Karoui+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、Azéma-Yor過程、Bachelier下落方程式、および最適マルティングガール表現の間の深い関係を確立する。任意の下落制約（過去の最大値の関数以上を維持する）を満たす過程は一意にAzéma-Yor過程であり、BachelierSDEの解は正確にそのような下落制約付き過程である。主な貢献は、与えられたベンチマークを確率的に支配する最大値を有するマルティングガールの中で、下りの順序に関して最適であるとされるAzéma-Yorマルティングガールの特徴付けであり、スコロフホド埋め込み問題とポートフォリオ保険最適化の解を統合的に解釈する。

ABSTRACT

We study the class of Az\'ema-Yor processes defined from a general semimartingale with a continuous running maximum process. We show that they arise as unique strong solutions of the Bachelier stochastic differential equation which we prove is equivalent to the drawdown equation. Solutions of the latter have the drawdown property: they always stay above a given function of their past maximum. We then show that any process which satisfies the drawdown property is in fact an Az\'ema-Yor process. The proofs exploit group structure of the set of Az\'ema-Yor processes, indexed by functions, which we introduce. We investigate in detail Az\'ema-Yor martingales defined from a nonnegative local martingale converging to zero at infinity. We establish relations between average value at risk, drawdown function, Hardy-Littlewood transform and its inverse. In particular, we construct Az\'ema-Yor martingales with a given terminal law and this allows us to rediscover the Az\'ema-Yor solution to the Skorokhod embedding problem. Finally, we characterize Az\'ema-Yor martingales showing they are optimal relative to the concave ordering of terminal variables among martingales whose maximum dominates stochastically a given benchmark.

研究の動機と目的

• 下落制約（過去の最大値の関数以上を維持する）を満たす過程のクラスを特徴付けること。
• Bachelier確率微分方程式と下落方程式の同値性を確立し、それらの解が正確にAzéma-Yor過程であることを示すこと。
• 最大値が与えられたベンチマーク分布を確率的に支配する一様可積分マルティングガールの中で、Azéma-Yorマルティングガールが下りの順序に関して最適であることを示すこと。
• 終端分布の構成を通じて、Azéma-Yorがスコロフホド埋め込み問題に与える新しい統一的解釈を提供すること。
• 理論をポートフォリオ保険に応用し、制約付きポートフォリオ最適化における経路的制約の下でAzéma-Yorマルティングガールが最適であることを示すこと。

提案手法

• 上昇で絶対連続な関数Uでインデックス付けされたAzéma-Yor過程の集合に群構造を導入し、その性質を体系的に分析可能にする。
• 連続的な走査最大値を有する任意の半マルティングガールがBachelier-下落SDEを満たすことを示すことにより、それがAzéma-Yor過程であることを証明する。
• BachelierSDEと下落方程式の同値性を確立し、解がY_t ≥ w(Y^*_t)を満たす必要があることを要求する。
• Hardy-Littlewood変換とその逆変換を用いて、平均値リスク（AVaR）と過程の終端分布を関連付ける。
• 適切な関数Uを解くことにより、所望の終端分布を持つAzéma-Yorマルティングガールを構成し、これによりスコロフホド埋め込み問題におけるAzéma-Yor解を再構成する。
• 確率的順序理論を用いて、最大値が与えられたベンチマークを確率的に支配するすべての一様可積分マルティングガールの中で、Azéma-Yorマルティングガールが終端値の下りの順序に関して支配的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bachelier確率微分方程式と下落制約の間の明確な数学的関係は何か？
• RQ2 下落性質を満たす任意の過程は、Azéma-Yor過程として表現可能か？
• RQ3 与えられた終端分布を持つAzéma-Yorマルティングガールをどのように構成できるか？
• RQ4 最大値が与えられたベンチマークを確率的に支配する一様可積分マルティングガールの中で、下りの順序に関して最適なマルティングガールは何か？
• RQ5 Azéma-Yor過程の理論は、スコロフホド埋め込み問題とポートフォリオ保険問題の解をどのように統合的に解釈するか？

主な発見

• BachelierSDEは下落方程式と同値であり、その一意な強い解は正確にAzéma-Yor過程である。
• 与えられた関数wに対してY_t ≥ w(Y^*_t)を満たす任意の過程は、非負の半マルティングガールXに対して、必ずMU(X)という形のAzéma-Yor過程である。
• 終端分布νを持つAzéma-Yorマルティングガールは、最大値が与えられたベンチマーク分布を確率的に支配する一様可積分マルティングガールの中で、下りの順序に関して最適である。
• 与えられた終端分布νを持つAzéma-Yorマルティングガールの構成は、終端値がνに分布するように関数Uを解くことによって達成され、これによりスコロフホド埋め込み問題におけるAzéma-Yor解が再構成される。
• 下りの順序問題における最適マルティングガールと、最大値を最大化する確率的支配問題における最適マルティングガールは同一であり、両者ともAzéma-Yorマルティングガールである。
• 床過程Ft = g(Nt)に対して、Azéma-YorマルティングガールMU(N)は、Ftを経路的に支配するすべての一様可積分マルティングガールの中で下りの順序に関して最適であり、分布的に支配するより広いクラスに制限しても最適性は保たれる。