[論文レビュー] On Backward Doubly Stochastic Differential Evolutionary System

Jinniao Qiu, Shanjian Tang|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、単調作用素理論に基づく変分的アプローチを用いて、後向き二重確率的微分進化系（BDSDESs）の解の存在および一意性を確立する。Banach空間値のBDSDESsに対して一般化された伊藤の公式を証明し、無限次元設定への拡張を図り、後向き二重確率的偏微分方程式（BDSPDEs）の一般化された解理論における空白を埋める。

ABSTRACT

In this paper, we are concerned with backward doubly stochastic differential evolutionary systems (BDSDESs for short). By using a variational approach based on the monotone operator theory, we prove the existence and uniqueness of the solutions for BDSDESs. We also establish an Itô formula for the Banach space-valued BDSDESs.

研究の動機と目的

• 有限次元および無限次元設定における後向き二重確率的微分進化系（BDSDESs）の解の存在および一意性を確立すること。
• 古典的伊藤積分の枠組みを超えて、この方程式クラスに適した一般化された伊藤の公式を確立すること。
• これまで未解決であった、後向き二重確率的偏微分方程式（BDSPDEs）の一般化された解理論における理論的空白を埋めること。
• Feynman-Kac公式、確率的バナチィ解、最適制御理論に関する既存の結果を、無限次元のBDSDES駆動過程へと拡張すること。
• 有限次元の場合を超えて、BDSDESsを解析するための変分的枠組みを単調作用素理論に基づき構築すること。

提案手法

• 単調作用素理論に裏打ちされた変分的アプローチを用いて、BDSDESsの解の存在および一意性を証明する。
• Galerkin近似技術を用い、まず有限次元の場合に結果を確立した後、無限次元のヒルベルト空間およびBanach空間設定へと拡張する。
• 前向きおよび後向きの2つの独立なブラウン運動によって駆動されるBanach空間値過程に対する一般化された伊藤の公式を導出する。これは、この文脈における確率的微積分学の根幹をなす。
• 弱収束の議論および単調作用素理論に基づくコンパクトネス法を用いて、近似列の収束を扱う。
• 空間間の双対性を保証し、変分的設定における適切な定式化を実現するため、Gelfand三重項枠組み $ V \hookrightarrow H \cong H' \hookrightarrow V' $ を用いる。
• 停止時刻を含む極限的議論および確率的 $ L^2 $-有界性を用いて、離散近似の収束を厳密に証明し、解のパスワイズ連続性および可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元空間において、後向き二重確率的微分進化系の解の存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 Banach空間値の後向き二重確率的過程に対して適切な伊藤の公式は何か？ そして、古典的伊藤の公式とはどのように異なるか？
• RQ3 単調作用素理論を、有限次元を超える変分的設定におけるBDSDESsの解法にどのように適合できるか？
• RQ4 本フレームワークを用いて、特に準線形方程式に対して、BDSPDEsの一般化された解理論を完成できるか？
• RQ5 Feynman-Kac公式、確率的バナチィ解、最適制御理論などの結果を、無限次元のBDSDESsへとどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、単調作用素理論に基づく変分的アプローチを用いて、有限次元および無限次元設定におけるBDSDESsの解の存在および一意性を証明する。
• Banach空間値のBDSDESsに対して一般化された伊藤の公式が確立され、この方程式クラスにおける確率的微積分学の基盤をなす。
• 解過程 $ u $ が空間 $ S^2(0,T;H) $ に属することを示し、ヒルベルト空間 $ H $ におけるパスワイズ連続性および二乗可積分性を保証する。
• 弱収束およびコンパクトネスの議論を用いて、近似列の収束を厳密に証明し、極限が $ L^2 $-意味で元のBDSDESを満たすことを検証する。
• 結果は準線形BDSPDEsへと拡張され、BDSPDEsの一般化された解理論における重要な空白を埋めるより一般的な存在および一意性の結果が得られる。
• 本フレームワークは、確率的バナチィ解、ヒルベルト空間上におけるSPDEの定常解、無限次元BDSDE状態ダイナミクスを伴う最適制御問題への潜在的な拡張を可能にする。