[論文レビュー] On band gaps in photonic crystal fibers

Shane Cooper, I. V. Kamotski+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2014

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、周期的誘電率配列におけるマクスウェル系をモデル化することで、フォトニック結晶ファイバー（PCF）のバンドギャップを分析する。臨界より前の伝搬定数における軸方向場成分のための低次元スペクトル問題を導出し、極限において片方の相における場がコーシー＝リーマン型の制約を満たすことを示し、スペクトル収束が証明され、微小な「矢印型」ファイバーがマイクロ共鳴に近接する場合のギャップ存在が示された。

ABSTRACT

We consider the Maxwell's system for a periodic array of dielectric `fibers' embedded into a `matrix', with respective electric permittivities $ε_0$ and $ε_1$, which serves as a model for cladding in photonic crystal fibers (PCF). The interest is in describing admissible and forbidden (gap) pairs $(ω,k)$ of frequencies $ω$ and propagation constants $k$ along the fibers, for a Bloch wave solution on the cross-section. We show that, for "pre-critical" values of $k(ω)$ i.e. those just below $ω(\min\{ε_0,ε_1\}μ)^{1/2}$ (where $μ$ is the magnetic permeability assumed constant for simplicity), the coupling specific to the Maxwell's systems leads to a particular partially degenerating PDE system for the axial components of the electromagnetic field. Its asymptotic analysis allows to derive the limit spectral problem where the fields are constrained in one of the phases by Cauchy-Riemann type relations. We prove related spectral convergence. We finally give some examples, in particular of small size "arrow" fibers ($ε_0>ε_1$) where the existence of the gaps near appropriate "micro-resonances" is demonstrated by a further asymptotic analysis.

研究の動機と目的

• フォトニック結晶ファイバーにおける許容可能でない周波数・伝搬定数ペア (ω,k) を特徴づけること。
• 対比の大きい誘電率を持つ周期的誘電体構造におけるブロッホ波解のスペクトル的挙動を理解すること。
• 最小誘電率に関連する臨界値に近づく際のマクスウェル系の漸近的極限を分析すること。
• 前臨界領域における低次元系の厳密なスペクトル収束結果を確立すること。
• 微小な「矢印型」ファイバーにおけるバンドギャップの存在を、マイクロ共鳴に近接するさらなる漸近的解析を通じて示すこと。

提案手法

• 異なる誘電率 ε₀ と ε₁ を持つマトリックス中に埋め込まれた周期的誘電率ファイバー列のマクスウェル系をモデル化する。
• Bloch波解 e^{i(ωt + ky₃)}E(y₁,y₂) の形を仮定することで、問題を断面的固有値系に還元する。
• ベクトル解析の恒等式を用いて横方向成分を消去し、軸方向成分 E₃ と H₃ の結合系を導出する。
• 双線形形式 β(u,φ) と重み関数 a = ω²εμ − k² を導入し、弱形式を構築することでスペクトル問題を定式化する。
• 前臨界 k 値（ω(min{ε₀,ε₁}μ)^{1/2} よりわずかに小さい）における漸近的解析を適用し、退化した偏微分方程式構造を明らかにする。
• 一般化されたウェイルの分解とエネルギー推定を用いて、極限におけるスペクトル収束と場の制約を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 伝搬定数 k が前臨界閾値に近いとき、フォトニック結晶ファイバーにおける電磁スペクトルの挙動はいかなるものか？
• RQ2 k が臨界値 ω(min{ε₀,ε₁}μ)^{1/2} に近づく際、軸方向成分 E₃ と H₃ はどのように漸近的に振る舞うか？
• RQ3 高対比・前臨界極限において、電磁場にどのような制約が生じ、スペクトル構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 漸近的手法を用いて、微小で高対比な「矢印型」ファイバーにおけるバンドギャップを厳密に示すことができるか？
• RQ5 コーシー＝リーマン型関係は、k の微小なずれの極限において、一方の相における場をどのように制約するか？

主な発見

• 前臨界 k 値において、マクスウェル系は軸方向成分 E₃ と H₃ に対する部分的に退化した偏微分方程式系に簡略化される。
• 極限において、誘電率が低い相における場は、コーシー＝リーマン型の関係によって制約され、強い結合効果を示す。
• 元の系と極限スペクトル問題との間でスペクトル収束が証明された。
• ε₀ > ε₁ である微小な「矢印型」ファイバーにおいて、適切なマイクロ共鳴に近接する領域でバンドギャップの存在が厳密に示された。
• 漸近的解析により、ギャップ構造が高対比・微小ファイバー領域における共鳴的挙動に起因することが確認された。
• 双線形形式 β(u,φ) と重み関数 a = ω²εμ − k² は、弱形式およびスペクトル解析の中心的役割を果たす。