[論文レビュー] On Banica sheaves and Fano manifolds

Edoardo Ballico, Jarosław A. Wiśniewski|ArXiv.org|Nov 7, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、射影化が滑らかなファノ多様体を与えるための両面的層（Banica sheaves）を導入し、局所自由でない層の射影化として得られる、インデックス $ r $、次元 $ 2r $、$ b_2 \geq 2 $ であるファノ多様体を分類する。反射的層の技法とチャーン類の解析を用いて、このようなファノ多様体が、$ \mathbb{P}^{r+1} \times \mathbb{P}^{r+1} $ 内の二つの $(1,1)$-除集合の完全交差、線型部分多様体に沿った二次曲面の blown-up、または射影空間の積内の特定の除集合である必要があることを証明する。層構造と特異ファイバーの個数について明示的な記述がなされる。

ABSTRACT

In the present paper we discuss coherent sheaves of rank > 1 whose projectivization gives rise to smooth varieties - varieties of this type are also called smooth scrolls. We prove some basic properties of these varieties and we give some pertinent examples. We classify Fano manifolds of large index which are of this type.

研究の動機と目的

• インデックス $ r $、次元 $ 2r $、$ b_2 \geq 2 $ であるファノ多様体で、両面的層の射影化として得られるものについて分類すること。
• 平坦かつ局所自由な層に限らない、両面的層を含む射影的ファイブレーションの理論を拡張し、特に滑らかな多様体を生成するものについて考察すること。
• 射影化が滑らかになる両面的層（Banica sheaves）を特徴づけ、その構造的および数値的性質を確立すること。
• ベルトラミティとソムセーの滑らかなスクリールに関する予想を、Banica 層の枠組みを用いて解明すること。

提案手法

• 対象多様体 $ Y $ 上の両面的層 $ \mathcal{E} $ の射影化 $ \mathbb{P}(\mathcal{E}) $ を、対称代数 $ \operatorname{Sym}(\mathcal{E}) $ の相対Proj構成により定義する。
• 射影化 $ X = \mathbb{P}(\mathcal{E}) $ の幾何に層データを関連付けるために、標準的可逆層 $ \mathcal{O}_{\mathbb{P}(\mathcal{E})}(1) $ と $ p_*\mathcal{O}(1) \cong \mathcal{E} $ を用いる。
• 相対オイラー列とチャーン類の計算を用いて、特にファノ多様体と随伴除集合の文脈において、ファイバーの正規束および接束を分析する。
• 層 $ \mathcal{E} $ が局所自由でないという条件を用いて、底多様体 $ Y $ に対する制約を導出し、$ Y \cong \mathbb{P}^{r+1} $ または $ \mathbb{Q}^{r+1} $ に基づく分類に至る。
• 超平面への制限 $ \mathcal{E}(-1) $ を分析し、[PSW1] の分類結果を用いて可能なバンドル型を同定する。
• 上位チャーン類 $ c_{r+1}(\mathcal{E}) $ を特異ファイバーの個数として用い、場合分けの区別と既知の不変量との整合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インデックス $ r $、次元 $ 2r $、$ b_2 \geq 2 $ であるファノ多様体で、局所自由でない両面的層の射影化として得られるものについて、可能な幾何的構造は何か？
• RQ2 層 $ \mathcal{E} $ の性質、特にランクと特異性が、ファノ多様体 $ X = \mathbb{P}(\mathcal{E}) $ の構造にどのように制約を加えるか？
• RQ3 Banica 層の枠組みを用いて、ベルトラミティとソムセーの滑らかなスクリールに関する予想を解明できるか？
• RQ4 このようなファノ多様体に関連する数値的不変量（特にチャーン類と特異ファイバーの個数）は何か？
• RQ5 どの底多様体 $ Y $ が、$ \mathbb{P}(\mathcal{E}) $ がインデックス $ r $、次元 $ 2r $ であるファノ多様体となるような、局所自由でない層 $ \mathcal{E} $ を持てるか？

主な発見

• インデックス $ r $、次元 $ 2r $、$ b_2 \geq 2 $ であるファノ多様体で、局所自由でない層の射影化として得られるものでは、底多様体 $ Y \cong \mathbb{P}^{r+1} $ または $ \mathbb{Q}^{r+1} $ でなければならない。
• $ Y \cong \mathbb{P}^{r+1} $ の場合、ファノ多様体 $ X $ は、$ \mathbb{P}^{r+1} \times \mathbb{P}^{r+1} $ 内の二つの双次数 $ (1,1) $ の除集合の完全交差、二次曲面 $ \mathbb{Q}^{2r} $ を線型 $ \mathbb{P}^{r-1} $ に沿って blown-up したもの、または $ \mathbb{P}^{r+1} \times \mathbb{P}^{r} $ 内の双次数 $ (1,2) $ の除集合のいずれかである。
• $ Y \cong \mathbb{Q}^{r+1} $ の場合、$ X $ は $ \mathbb{Q}^{r+1} \times \mathbb{P}^{r} $ 内の双次数 $ (1,1) $ の除集合である。
• 最初のケースでは、$ \mathcal{E}(-1) \cong \mathcal{O}^{r+2}/\mathcal{O}(-1)^2 $ であり、$ c_{r+1}(\mathcal{E}) = r+2 $ で、これは $ r+2 $ 個の特異ファイバーに対応する。
• 2番目のケースでは、$ \mathcal{E}(-1) \cong (T\mathbb{P}^{r+1}(-1) \oplus \mathcal{O}(1))/\mathcal{O}^2 $ であり、$ c_{r+1}(\mathcal{E}) = 2 $ である。
• 3番目のケースでは、$ \mathcal{E}(-1) \cong \mathcal{O}^{r+1}/\mathcal{O}(-2) $ であり、$ c_{r+1}(\mathcal{E}) = 2^{r+1} $ である。$ \mathbb{Q}^{r+1} $-ケースでは、$ \mathcal{E}(-1) \cong \mathcal{O}^{r+1}/\mathcal{O}(-1) $ であり、$ c_{r+1}(\mathcal{E}) = 2 $ である。