[論文レビュー] On base point freeness in positive characteristic

Paolo Cascini, Hiromu Tanaka+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Frobenius関連の技法を用いて、正標数における接続除算子の基本点自由性および正定値性の基準を確立する。$(X, B)$ が強く $F$-正則で、$A$ が正定値であり、$K_X + A + B$ が厳密にネフであるならば、$K_X + A + B$ は正定値であることを証明する—これは、強い $F$-正則性の下で、Kawamataの基本点自由定理の正標数版を提供する。

ABSTRACT

We prove that if $(X,A+B)$ is a pair defined over an algebraically closed field of positive characteristic such that $(X,B)$ is strongly $F$-regular, $A$ is ample and $K_X+A+B$ is strictly nef, then $K_X+A+B$ is ample. Similarly, we prove that for a log pair $(X,A+B)$ with $A$ being ample and $B$ effective, $K_X+A+B$ is big if it is nef and of maximal nef dimension. As an application, we establish a rationality theorem for the nef threshold and various results towards the minimal model program in dimension three in positive characteristic.

研究の動機と目的

• 古典的な消失定理が、Kodairaの消失定理の失敗により失敗する正標数における基本点自由定理の確立。
• 強 $F$-正則性および $A$ の正定値性の下で、厳密にネフな接続除算子 $K_X + A + B$ が正定値であることを証明すること。
• 正標数におけるネフ還元写像およびネフ閾値の有理化に関する結果の拡張。
• 代数閉体の正標数上での次元3における最小モデルプログラムの基盤を提供すること。

提案手法

• Frobeniusのトレース写像および $F$-付随を用いて、特徴 $p>0$ におけるローグ・カノニカル中心の代わりに、次元0の $F$-純中心を構成する。
• $F$-閾値関数を導入し、古典的 $F$-純閾値の代わりにし、Frobeniusねじれを用いたセクションの持ち上げを可能にする。
• ネフ還元写像を適用し、最大ネフ次元を持つ除算子を分析し、それらを数値的および数値的正定値性の性質に関連付ける。
• 帰納法および部分スキームのカット技術を用いて、中心を分離し、MMP設定における特異点を制御する。
• アーベリア写像およびスティーン因子分解を用いて、ファイブレーションおよび曲線・曲面上の数値的自明性を分析する。
• [FT12] および [Keel99] の結果を適用し、良い最小モデル上でMMPを実行し、半正定値性を結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数において、厳密にネフな接続除算子 $K_X + A + B$ が正定値であるための条件は何か？
• RQ2 消失定理に依存せずに、正標数においてネフ閾値の有理化を確立できるか？
• RQ3 Frobenius技法を用いて、基本点自由性のためのセクション持ち上げに、Nadel型の消失定理をどのように置き換えることができるか？
• RQ4 これらの結果は、正標数体上での次元3における最小モデルプログラムにどのような意味を持つのか？
• RQ5 ネフ次元が小さい場合に、ネフ還元写像を用いて半正定値性を証明できるか？

主な発見

• $(X, B)$ が強く $F$-正則で、$A$ が正定値であり、$K_X + A + B$ が厳密にネフであるならば、$K_X + A + B$ は正定値である。
• ネフ閾値 $\lambda = \min\{t > 0 \mid K_X + B + tA \text{ はネフ} \}$ は有理数であり、$(K_X + \lambda A + B) \cdot C = 0$ を満たす曲線 $C$ が存在する。
• 強 $F$-正則な対 $(X, \Delta)$ に対して、$K_X + \Delta$ が大きな場合で、かつ厳密にネフであるならば、それは正定値である。
• $K_X + B$ がネフであり、最大ネフ次元を持つならば、それが可動曲線上で数値的に正定値であれば、それは大きなものである。
• 次元3において、$K_X + B$ は $n(K_X + B) \leq 2$ のとき半正定値である。$n=1$ の場合はファイブレーションおよびアーベリア解析により解決済み。
• $\kappa(X, K_X + B) = 3$ のとき、Keelの定理により半正定値性が従う。$n(K_X + B) = 0$ のとき、$K_X + B \sim_\mathbb{Q} 0$ ならば、$\overline{\mathbb{F}}_p$ 上で半正定値性が成り立つ。