[論文レビュー] On basic curvature identities for almost (para)contact metric manifolds

Joanna Wełyczko|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、半積構造と補助的なほぼ(パラ)ヘルミート構造を用いて、ほぼ(パラ)接触計量多様体の曲率恒等式を一般化する。著者らは、正常性の条件が、テンソル場φとレヴィビーティ接続を含む曲率作用素の特定の恒等式を導くことを証明した。これは、Blair よりもZamkovoy による先行研究を、より広い多様体のクラスへと拡張するものである。

ABSTRACT

In monograph of D. E. Blair "Riemannian geometry of contact and symplectic manifolds" and in the paper of S. Zamkovoy "Canonical connections on paracontact manifolds", the curvature identities respectively for contact and paracontact metric manifold are proved. We obtain the curvature identity in the wider class of manifolds, which generalizes results presented in above mentioned publications. Moreover, we present some properties of almost (para)hermitian structure on a special semiproduct of R+ and an almost (para)contact metric manifold. This semiproduct plays an auxiliary role in proving main theorem.

研究の動機と目的

• 接触およびパラ接触計量多様体からの曲率恒等式を、より広いクラスのほぼ(パラ)接触計量多様体へと拡張すること。
• 接触構造（ε₁ = -1）とパラ接触構造（ε₁ = 1）の両方に有効な統一された曲率恒等式を確立すること。
• 半積構造が、ほぼ(パラ)接触構造とほぼ(パラ)ヘルミート構造を結ぶ役割を果たす仕組みを調査すること。
• レヴィビーティ接続とニエンヒュイズテンソルを用いた、正常性の必要十分条件を導出すること。
• 次元 ≥ 5 の共形平坦な正常ほぼ(パラ)接触計量多様体における曲率制約を分析すること。

提案手法

• φ²X = ε₁(X - η(X)ξ) および g(φX, φY) = -ε₁(g(X,Y) - ε₀η(X)η(Y)) を満たす (φ, ξ, η, g) を用いた一般化されたほぼ(パラ)接触計量構造を導入する。
• 基本形式 Φ(X,Y) = g(X, φY) を定義し、ニエンヒュイズテンソル N 及びその修正版 N⁽¹⁾ を用いて正常性を特徴付ける。
• M̃ = M × ℝ に、J∂ₜ = ε₁ξ および JX = φX + η(X)∂ₜ で定義されるほぼ(パラ)複素構造 J を導入する半積多様体を構成する。
• ほぼ(パラ)複素多様体 (M̃, J) に一般化されたグレイの曲率定理を適用する。ここで接続 ∇ は [∇_X, J] = ∇_X J および [∇_JX, J] = δJ[∇_X, J] を満たし、δ = ±1 とする。
• リーマン曲率作用素 R とテンソル J を含む曲率恒等式を導出し、正常性の下で主要な恒等式を得る。
• ほぼ(パラ)接触構造の正常性と、半積多様体上のニエンヒュイズテンソル Ñ の消滅の間の同値性を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 接触（ε₁ = -1）とパラ接触（ε₁ = 1）構造の両方に共通する、ほぼ(パラ)接触計量多様体のクラスに普遍的に成り立つ曲率恒等式は何か？
• RQ2 M × ℝ にほぼ(パラ)複素構造を導入する半積構造は、曲率恒等式の導出にどのように寄与するか？
• RQ3 ほぼ(パラ)接触計量構造の正常性と、M × ℝ 上の関連するほぼ(パラ)複素構造の可積分性との間の明確な関係は何か？
• RQ4 次元 ≥ 5 の共形平坦な正常ほぼ(パラ)接触計量多様体において、どのような曲率制約が生じるか？
• RQ5 単一の枠組みを用いて、接触（ε₁ = -1）とパラ接触（ε₁ = 1）構造の両方の曲率恒等式を一様に導出可能か？

主な発見

• 本稿では、正常ほぼ(パラ)接触計量多様体に対して普遍的な曲率恒等式を確立した：([R(Z,φX),φ] + [R(φZ,X),φ] + ε₁[R(φZ,φX),φ]φ + [R(Z,X),φ]φ)Y = -η(Y)(ε₁R(Z,X)ξ + R(φZ,φX)ξ)。
• 次元 2n+1 ≥ 5 の共形平坦な正常ほぼ(パラ)接触計量多様体において、リッチテンソルは R̂ic(φX) - φR̂ic(X) = η(R̂ic(φX))ξ - η(X)φR̂ic(ξ) を満たす。これは式 (45) である。
• リッチテンソルは、Ric(X,Y) + ε₁Ric(φX,φY) = η(X)Ric(Y,ξ) + η(Y)Ric(X,ξ) - η(X)η(Y)Ric(ξ,ξ) という対称性条件を満たす。これは式 (46) に記載されている。
• 任意の X ∈ D（η の核）に対して、リッチテンソルは Ric(X,X) + ε₁Ric(φX,φX) = 0 を満たす。これは式 (47) で示されている。
• 正常性条件はニエンヒュイズテンソル N⁽¹⁾ の消滅と同値であり、これは M × ℝ 上のほぼ(パラ)複素構造 J の可積分性と同値である。
• 構造を半積に持ち上げ、δ = 1 条件の下で一般化されたグレイ型曲率定理を適用することで、曲率恒等式が導出され、主要な結果が得られた。