[論文レビュー] On Bergman completeness of non-hyperconvex domains

Marek Jarnicki, Peter Pflug+1 more|ArXiv.org|Sep 28, 1999

Holomorphic and Operator Theory参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、非双曲的有界擬凸領域におけるBergman核のBergman完備性および境界挙動を調査する。平衡領域およびHartogs型構造の性質を用いて、有界擬凸平衡領域、平衡ファイバーをもつHartogs領域、および特定のローレンツ-Hartogs領域を含むクラスにおいて、Bergman完備性が成り立ち、境界に近づくと核が無限大に発散することを証明する。

ABSTRACT

We study the problem of the boundary behaviour of the Bergman kernel and the Bergman completeness in some classes of bounded pseudoconvex domains, which contain also non-hyperconvex domains. Among the classes for which we prove the Bergman completeness and the convergence of the Bergman kernel to infinity while tending to the boundary are all bounded pseudoconvex balanced domains, all bounded Hartogs domains with balanced fibers over regular domains and some bounded Laurent-Hartogs domains.

研究の動機と目的

• 非双曲的有界擬凸領域におけるBergman核の境界挙動を分析すること。
• 双曲的でないクラスの領域においてBergman完備性が成り立つかどうかを特定すること。
• 既知のBergman完備性の結果を双曲的領域を超えて拡張すること。
• 境界に近づくとBergman核が無限大に収束するかどうかを調査すること。
• 特に平衡およびHartogs型領域を含む特定の幾何的クラスについて、完備性および核の発散を確立すること。

提案手法

• 複素解析におけるBergman核およびBergman計量の理論を用いる。
• 領域が複素スカラー乗算に関して不変であるという性質を持つ平衡領域の性質を適用する。
• 正則な基底領域上に平衡集合をファイバーにもつHartogs領域を分析する。
• 特定の対称性を持つ場合に、Hartogs領域の一般化としてのローレンツ-Hartogs領域を検討する。
• 擬凸性および複素多重調和関数論の技法を用いて境界挙動を研究する。
• 双曲的領域におけるBergman完備性の既知の結果を活用し、非双曲的設定へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非双曲的領域において、境界に近づくとBergman核は無限大に発散するか？
• RQ2 有界擬凸平衡領域においてBergman完備性を確立できるか？
• RQ3 正則領域上に平衡ファイバーをもつHartogs領域においてBergman完備性は保たれるか？
• RQ4 特定のローレンツ-Hartogs領域におけるBergman核の境界挙動はいかなるものか？
• RQ5 Bergman完備性はどの程度まで双曲的領域のクラスを超えて拡張可能か？

主な発見

• すべての有界擬凸平衡領域においてBergman完備性が成り立つ。
• 有界擬凸平衡領域において、境界に近づくとBergman核は無限大に発散する。
• すべての有界Hartogs領域（正則領域上に平衡ファイバーをもつ）においてBergman完備性が確立される。
• 有界Hartogs領域（平衡ファイバーをもつ）において、境界でBergman核は無限大に発散する。
• 特定の有界ローレンツ-Hartogs領域について、Bergman完備性および核の発散が証明される。
• これらの結果により、Bergman完備性が双曲的領域でない領域、特に従来の定理ではカバーされていなかったクラスへと拡張される。