[論文レビュー] On Biased Correlation Estimation

Thomas Schürmann, Ingo Hoffmann|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、真の相関に依存しない一定で制御可能な低估確率を保証する、新しい体系的バイアス付き相関推定法を提案する。従来の推定法とは異なり、低估リスクは真の相関に応じて変動するが、本手法は標本相関係数の連続的かつ厳密に増加する変換を用いる。この変換は統計的一貫性を示し、任意のα∈(0,1)に対して、常に1−αの固定された低估確率を達成することが保証されている。

ABSTRACT

In general, underestimation of risk is something which should be avoided as far as possible. Especially in financial asset management, equity risk is typically characterized by the measure of portfolio variance, or indirectly by quantities which are derived from it. Since there is a linear dependency of the variance and the empirical correlation between asset classes, one is compelled to control or to avoid the possibility of underestimating correlation coefficients. In the present approach, we formalize common practice and classify these approaches by computing their probability of underestimation. In addition, we introduce a new estimator which is characterized by having the advantage of a constant and controllable probability of underestimation. We prove that the new estimator is statistically consistent.

研究の動機と目的

• 金融リスク管理における一般的なバイアス付き相関推定手法を形式化すること。
• 異なるバイアス付き推定法における低估確率を定量的に評価・比較すること。
• 真の相関にかかわらず、ユーザーが定めた固定された低估確率を維持する新しい推定法を開発すること。
• 有限標本条件下での新しい推定法の統計的一致性を証明すること。
• ポートフォリオリスク推定におけるヒューリスティックなバイアス補正の代替として、実用的かつ解析的に扱いやすい代替手法を提供すること。

提案手法

• 標本相関係数 ˆr の4つの区分線形変換を提案し、体系的バイアスを誘導する。
• 標準正規分布の累積分布関数の逆関数を用いて定義される、新しい連続的かつ厳密に単調増加な変換 Gα(ˆr) を導入する。
• 推定法 ˜r = Gα(ˆr) を定義し、任意の α∈(0,1) に対して P(˜r < ρ) = 1−α を満たすようにし、一定の低估確率を保証する。
• 標本サイズが大きい場合の変換の近似式を導出する： ˜r = [√n + 4qα / √n] ˆr + [4q²α − √n] / (2qα)，n > 4q²α の範囲で有効。
• 確率測度論的変換を用いて、低估確率が正確に 1−α に等しいことを証明する。
• ˆr の漸近正規性と誤差関数を活用し、˜r → ˆr が n→∞ のとき確率的に収束することを示すことにより、統計的一致性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限標本において、一般的なバイアス付き相関推定法の低估確率は、どのように真の相関 ρ∈[−1,1] に依存するか？
• RQ2 任意の真の相関値 ρ∈[−1,1] に対して、低估確率が一定であるようなバイアス付き相関推定法を構築できるか？
• RQ3 制御可能な低估確率を持つ新しいバイアス付き推定法の統計的一致性の挙動はいかなるものか？
• RQ4 ユーザーが定めた低估リスクを保証する閉形式で解析的に扱いやすい変換を導出できるか？
• RQ5 本手法は、負の相関をゼロにクリッピングする、または定数を加算するといったヒューリスティック手法と比べてどのように異なるか？

主な発見

• 提案された推定法 ˜r = Gα(ˆr) は、任意の α∈(0,1) に対して、真の相関 ρ にかかわらず、常に1−αの固定された低估確率を達成する。
• 標準的なバイアス付き推定法とは異なり、本推定法の低估リスクは ρ に依存しないため、従来手法の主要な限界を解消する。
• 推定法は統計的一致性を示す：標本サイズ n→∞ のとき、˜r は確率的に真の相関 ρ に収束する。
• 変換のための標本サイズが大きい場合の近似式が導出された： ˜r = [√n + 4qα / √n] ˆr + [4q²α − √n] / (2qα)，n≥20 でも良好な性能を示す。
• 理論的証明により、変換が単調性を保ち、逆累積分布関数を用いて低估確率を正確に計算可能であることが確認された。
• 負の r をゼロに設定するなど、恣意的なバイアス補正の代替として、原理的かつ整合性のある代替手法を提供する。