[論文レビュー] On bifurcation of solutions of the Yamabe problem in product manifolds

Levi Lopes de Lima, Paolo Piccione+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、積多様体上のヤマベ問題に等長的分岐理論を適用し、特定の共形類において無限に多くの非同型の定スカラー曲率計量の存在を証明する。ほとんどのパrameter値において局所的剛性を確立し、分岐が可算無限個の集積点で発生することを示し、多重性結果および正のスカラー曲率を持つエインシュタイン多様体の新たな一意性定理を導く。

ABSTRACT

We study local rigidity and multiplicity of constant scalar curvature metrics in arbitrary products of compact manifolds. Using (equivariant) bifurcation theory we determine the existence of infinitely many metrics that are accumulation points of pairwise non homothetic solutions of the Yamabe problem. Using local rigidity and some compactness results for solutions of the Yamabe problem, we also exhibit new examples of conformal classes (with positive Yamabe constant) for which uniqueness holds.

研究の動機と目的

• 積多様体上の定スカラー曲率計量の多重性と剛性を調査すること。
• 自明な積計量族が分岐する条件を特定すること。
• 正のスカラー曲率を有するコンactエインシュタイン多様体の積における共形類に対して、新たな一意性結果を確立すること。
• 共形類におけるヒルベルト＝アインシュタイン汎関数の第二変分およびモース指数の振る舞いを分析すること。
• 標準的な指数ジャンプ基準が失敗する状況において、非自明な解の分岐を検出できる等長的フレームワークを構築すること。

提案手法

• 固定された共形類における定スカラー曲率計量の変分的枠組みとしてヒルベルト＝アインシュタイン汎関数を用いる。
• 多様体 $M_0 \times M_1$ 上の1パラメータ族 $\mathbf{g}_\lambda = \mathbf{g}^{(0)} \oplus \lambda \mathbf{g}^{(1)}$ に対して分岐理論を適用する。
• スモラーやワッサーマンの抽象的分岐定理を、勾配作用素の構造とフレドホルム性を介して微分幾何的設定に適応する。
• G-等長性を用いて、退化点におけるヘッセ行列の負の固有空間の非同型表現を介し分岐を検出する。
• ヤコビ作用素の固有値のスペクトル的挙動を分析し、固有値は単調であるが、退化点で必ずしも指数がジャンプしないことを示す。
• 文献[8, 12, 13]のコンパクト性結果を応用し、球面や正のエインシュタイン多様体の積の共形類における一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体 $M_0 \times M_1$ 上の自明な積計量族が、非同型の定スカラー曲率計量に分岐するのはどのような条件下か？
• RQ2 モース指数がジャンプしない退化点においても分岐が発生しうるか？
• RQ3 ヤマベ問題の積多様体上で局所的剛性が成立しないパrameter $\lambda$ の集合の構造はいかなるものか？
• RQ4 正のスカラー曲率を有するコンパクトエインシュタイン多様体の積の共形類において、定スカラー曲率計量の一意性が成立するのはどの共形類か？
• RQ5 標準的な指数ジャンプ基準が失敗する状況において、等長的分岐理論をどのようにして非自明な解分岐を検出できるか？

主な発見

• 0 および $\infty$ に集積する可算無限集合 $\Lambda \subset \langle 0, \infty \rangle$ が存在し、$\Lambda$ に属するすべての $\lambda_*$（有限個を除く）で分岐が発生する。これにより、自明な族に属さない非自明な定スカラー曲率計量の分岐が得られる。
• すべての $\lambda \in \langle 0, \infty \rangle \setminus \Lambda$ に対して、自明な族 $\mathbf{g}_\lambda$ は局所的剛性を有する。すなわち、任意の $\mathcal{C}^{2,\alpha}$-近傍にある定スカラー曲率計量は、ある $\mathbf{g}_\lambda$ に同型である。
• スカラー曲率が正である $\mathbf{g}^{(1)}$ を持つ $\mathbf{g}_\lambda = \mathbf{g}^{(0)} \oplus \lambda \mathbf{g}^{(1)}$ の共形類において、$\langle 0,1 \rangle$ 内の可算無限個の集積点を持つ部分集合 $F \subset \langle 0,1 \rangle$ が存在し、すべての $\lambda \in F$ に対して、少なくとも3つの異なる単位体積定スカラー曲率計量が存在する。
• モース指数は、退化点 $\lambda_*$ で必ずしもジャンプしない。固有値がゼロを横切らない場合、相殺が生じ得るためである。
• ヘッセ行列の負の固有空間の $G$-表現が変化する退化点では、モース指数が一定であっても分岐が保証される。
• コンパクト性と分岐解析のおかげで、正のスカラー曲率を有するコンパクトエインシュタイン多様体の積の共形類において、定スカラー曲率計量の一意性が成立する。