[論文レビュー] On bijections between 231-avoiding permutations and Dyck paths

Christian Stump|ArXiv.org|Mar 26, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、231を避ける置換とDyckパスの間で、置換の主要指数と逆主要指数の和を対応するDyckパスの主要指数に写す、新しい双対写像を構築する。主な貢献は、$q,t$-Catalan数に関連する多項式 $\mathcal{A}_n(q,t)$ の対称性に対する双対的証明であり、既存の双対写像との関係が確立され、パターンを避ける置換およびDyckパスの組合せ論的性質について新たな知見を提供する。

ABSTRACT

We construct a bijection between 231-avoiding permutations and Dyck paths that sends the sum of the major index and the inverse major index of a 231-avoiding permutation to the major index of the corresponding Dyck path. Furthermore, we relate this bijection to others and exhibit a bistatistic on 231-avoiding permutations which is related to the q,t-Catalan numbers.

研究の動機と目的

• 231を避ける置換とDyckパスの間で、特定の統計を保存する新しい明示的双対写像を構築すること。
• 231を避ける置換における主要指数と逆主要指数の和を、Dyckパスにおける主要指数に写すこと。
• 多項式 $\mathcal{A}_n(q,t)$ が $q$ と $t$ に関して対称であることを、双対的証明によって示すこと。
• 提案された双対写像を、パターンを避ける置換とDyckパスの間の既知の双対写像と関連付けること。
• 231を避ける置換における二重統計と $q,t$-Catalan数 $\operatorname{Cat}_n(q,t)$ の間の可能性のある関係を探索すること。

提案手法

• 双対写像 $\Phi$ は、各231を避ける置換 $\sigma$ を、$\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma) = \operatorname{maj}(D)$ を満たすDyckパス $D$ に写す。
• 構成には、ロビンソン＝シェンステッド対応および高々2行の標準ヤング盤の性質が用いられる。
• 逆主要指数 $\operatorname{imaj}(\sigma)$ は、$\hat{\sigma}$ を $\sigma$ の逆置換とするとき、$\operatorname{maj}(\hat{\sigma}})$ として定義される。
• $\mathcal{S}_n(321)$ 上の対合 $\mathbf{j}$ は、盤上のプロモーションを用いて定義され、降下集合を保存し、$j \mapsto n-j$ を通じて逆降下集合を変換する。
• 双対写像 $\Phi$ は、以前の構成と関連している：$\beta = \Psi \circ \Phi \circ \mathbf{i}$ であり、$\beta$ は $\mathcal{S}_n(132)$ から $\mathcal{D}_n$ へのBandlow-Killpatrick双対写像であり、$\mathbf{i}$ は $\sigma$ をその逆に写す対合である。
• 面積統計との関係は、$\operatorname{inv}(\sigma) = \operatorname{area}(\Psi \circ \Phi(\sigma))$ を通じて確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 231を避ける置換とDyckパスの間で、$\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma)$ をDyckパスの主要指数に写す双対写像を構築できるか？
• RQ2 $\mathcal{A}_n(q,t)$ がこの二重統計を用いて定義されるとき、$q$ と $t$ に関して対称的か？
• RQ3 提案された双対写像は、Bandlow-KillpatrickおよびKrattenthalerのパターンを避ける置換とDyckパスの間の双対写像とどのように関係するか？
• RQ4 Dyckパス上の主要指数とその補数を用いて、$q,t$-Catalan数 $\operatorname{Cat}_n(q,t)$ を生成関数として表現できるか？
• RQ5 対称性を直接の統計保存型双対写像によって証明する組合せ的対合は存在するか？

主な発見

• 双対写像 $\Phi$ は、各231を避ける置換 $\sigma$ を、$\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma) = \operatorname{maj}(D)$ を満たすDyckパス $D$ に写し、正確な統計保存型対応を確立する。
• $\mathcal{S}_n(231)$ 上での $\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma)$ の生成関数として定義される多項式 $\mathcal{A}_n(q,t)$ は、双対的証明により $q$ と $t$ に関して対称である。
• $\mathcal{A}_n(q,q^{-1}) = \operatorname{Cat}_n(q,q^{-1})$ が示され、新しい多項式がマクマホンの $q$-Catalan数と関連している。
• 双対写像 $\Phi$ は、恒等式 $\beta = \Psi \circ \Phi \circ \mathbf{i}$ を通じて、Bandlow-KillpatrickおよびKrattenthalerの双対写像と関連している。ここで $\mathbf{i}$ は逆対合である。
• $n=4$ のとき、$\mathcal{A}_4(q,t) - \operatorname{Cat}_4(q,t) = q^2t^2(qt - 1)$ であり、$n \geq 4$ では $\mathcal{A}_n(q,t) \neq \operatorname{Cat}_n(q,t)$ であるが、$t = q^{-1}$ のとき両者は一致する。
• $\mathcal{S}_n(321)$ 上に、降下集合を保存し、逆降下集合 $\operatorname{iDes}(\sigma)$ を $\{n-j : j \in \operatorname{iDes}(\sigma)\}$ に写す対合が構成され、$\mathcal{A}_n(q,t)$ の対称性を支持する。