[論文レビュー] On birational maps from cubic threefolds

Jérémy Blanc, Stéphane Lamy|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、滑らかな立方三fold内の滑らかな曲線を分類し、その blown-up が弱Fano 三fold を与えるものについて、3-secant 線をもたない条件を満たす特定の種数・次数の組 (g,d) で 2(d−5)≤g かつ d≤6 を満たすものについて考察している。主な貢献は、(2,6) 曲線からのサルキソフリンクを用いて、ピカール数 3 の滑らかな三fold 上で動的次数 >1 の最初の擬自己同型写像を構成し、任意の立方三foldの双有理自己同型群が、与えられた任意のルールド面に双有理な曲面を収縮することを証明している。

ABSTRACT

We characterise smooth curves in a smooth cubic threefold whose blow-ups produce a weak-Fano threefold. These are curves $C$ of genus $g$ and degree $d$, such that (i) $2(d-5) \le g$ and $d\le 6$; (ii) $C$ does not admit a 3-secant line in the cubic threefold. Among the list of ten possible such types $(g,d)$, two were previously left as open numerical possibilities, namely $(g,d) = (0,5)$ and $(2,6)$. Using the Sarkisov link associated with a curve of type $(2,6)$, we are able to produce the first example of a pseudo-automorphism with dynamical degree greater than $1$ on a smooth threefold with Picard number $3$. We also prove that the group of birational selfmaps of any smooth cubic threefold contains elements contracting surfaces birational to any given ruled surface.

研究の動機と目的

• 滑らかな立方三fold Y 内の滑らかな曲線 C に対して、C の blown-up X が弱Fano であるような条件を同定すること。
• そのような曲線のうち、Y への双有理自己同型写像を定めるサルキソフリンクをもつものを見つけること。
• ピカール数 3 の滑らかな三fold 上で動的次数 >1 の擬自己同型写像を構成すること。
• 任意の滑らかな立方三foldの双有理自己同型群が、与えられた任意のルールド面に双有理な曲面を収縮することを証明すること。

提案手法

• 弱Fano となる条件 2(d−5) ≤ g および d ≤ 6 を用いて、滑らかな曲線 C ⊂ Y の種数・次数の組 (g,d) を分類すること。
• Y 内に 3-secant 線をもつ曲線は、X が弱Fano でなくなるため、除外すること。
• 反 canonical 系 |−K_X| の構造を用いて、X の双有理幾何、特に基点自由性と写像の型を分析すること。
• 超二次曲面切断の幾何とその基底集合を用いて、吹き上げとフロップを介したサルキソフリンクを構成すること。
• blown-up 上での反 canonical 系の作用を活用し、P^3 への写像を定義することで、擬自己同型写像の構成を可能にすること。
• ピカール群への誘導作用のスペクトル半径を用いて、2つの擬自己同型写像の合成の動的次数を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 種数 g および次数 d の滑らかな曲線 C ⊂ Y で、Y 内の C の blown-up が弱Fano 三様になるものはどれか？
• RQ2 そのような曲線のうち、X が Y へサルキソフリンクをもち、Y の双有理自己同型写像を定めるものはどれか？
• RQ3 立方三fold 内の曲線を用いて、ピカール数 3 の滑らかな三様上で動的次数 >1 の擬自己同型写像を構成できるか？
• RQ4 滑らかな立方三fold の双有理自己同型写像が収縮できるルールド面の型はどのようなものか？

主な発見

• 曲線 C ⊂ Y の blown-up X が弱Fano であるための必要十分条件は、2(d−5) ≤ g かつ d ≤ 6 かつ Y 内に 3-secant 線をもたないことである。
• 不等式を満たす 12 組の (g,d) のうち、サルキソフリンクが Y の双有理自己同型写像を与えるのは (0,5) と (2,6) のみである。
• (2,6) 曲線の構成により、ピカール数 3 の滑らかな三様上で動的次数 49 + 20√6 の擬自己同型写像が得られる。
• 一般の超二次曲面切断の線型系に (2,6) 曲線 C₁ を含むとき、その基底集合は C₁ ∪ C₂ であり、C₂ もまた (2,6) 曲線である。
• 任意の滑らかな立方三foldの双有理自己同型群には、与えられた任意のルールド面に双有理な曲面を収縮する元が存在する。
• 擬自己同型写像の Pic(Z) 上への作用のスペクトル半径は 49 + 20√6 であり、動的次数が確認された。