[論文レビュー] On blowup of classical solutions to the compressible Navier-Stokes equations

Xin Zhouping, Wei Yan|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、初期データに孤立した質量集合が存在する場合、熱伝導を伴わない圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の古典的解が、初期データの大きさや遠方における真空中の条件にかかわらず、有限時間で爆発することを証明している。証明は、質量の2次モーメントが時間に対して2次的に増大することを示すエネルギーおよび運動量の推定に依拠しており、これは有界性の矛盾を引き起こし、有限時間での爆発を示唆する。

ABSTRACT

We study the finite time blow up of smooth solutions to the Compressible Navier-Stokes system when the initial data contain vacuums. We prove that any classical solutions of viscous compressible fluids without heat conduction will blow up in finite time, as long as the initial data has an isolated mass group (see definition in the paper). The results hold regardless of either the size of the initial data or the far fields being vacuum or not. This improves the blowup results of Xin (1998) by removing the crucial assumptions that the initial density has compact support and the smooth solution has finite total energy. Furthermore, the analysis here also yields that any classical solutions of viscous compressible fluids without heat conduction in bounded domains or periodic domains will blow up in finite time, if the initial data have an isolated mass group satisfying some suitable conditions.

研究の動機と目的

• 初期データに孤立した質量集合を含む圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の古典的解が有限時間で爆発することを確立すること。
• 先行する爆発結果で用いられた、密度が compact に台を持つことおよび全エネルギーが有限であることの制限付き仮定を排除すること。
• 適切な初期条件の下で、有界領域および周期的領域に対しても爆発結果を拡張すること。
• 遠方領域が真空中でない場合や初期データが大きい場合でも爆発が発生することを示すこと。
• エネルギーおよび運動量の推定を用いて、さまざまな領域における爆発を統一的に扱う枠組みを提供すること。

提案手法

• 質量が正である V および U の外側が真空中であるような入れ子構造の集合のペア (V, U) を用いて、孤立した質量集合を定義する。
• 圧縮性ナビエ＝ストークス系を用いて、質量、運動量、および質量の2次モーメントの時間発展方程式を導出する。
• エネルギーおよび運動量の推定を用いて、質量の2次モーメントの下界を確立し、それが時間に対して少なくとも2次的に増大することを示す。
• 空間的閉じ込めによって2次モーメントが有界であることに基づき、解が有限時間より後に存在するならば矛盾が生じることを導出する。
• 初期運動量がゼロでない場合に対処するために、ガリレオ変換を適用し、解析の構造を保つ。
• 孤立した質量集合がその進化中に境界に達しないように保証することで、有界領域および周期的領域への結果の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度が台がコンパクトでない場合でも、圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の古典的解が有限時間で爆発するか？
• RQ2 遠方における真空中の存在が、滑らかな解の有限時間での爆発に必要であるか？
• RQ3 大きな初期データ、あるいは有界領域・周期的領域においても爆発は発生するか？
• RQ4 全エネルギーが有限であることや台がコンパクトであることの仮定なしに、爆発結果を確立できるか？
• RQ5 孤立した質量集合の存在が、解の長期間挙動にどのように影響するか？

主な発見

• 熱伝導を伴わない圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の古典的解は、初期データに孤立した質量集合が存在する場合、有限時間で爆発する。
• 初期データの大きさや遠方領域が真空中であるか非真空中であるかにかかわらず、爆発は発生する。
• 先行研究で用いられていた密度がコンパクトに台を持つこと、全エネルギーが有限であることの仮定を排除した。
• 質量の2次モーメントは時間に対して少なくとも2次的に増大し、物理的領域における有界性と矛盾する。
• 適切な条件下で、有界領域および周期的領域に対しても爆発結果が拡張可能である。
• 解析により、遠方領域が真空中でない場合でも、孤立した質量集合が存在する限り、解は時間的に全域で存在できないことが確認された。