[論文レビュー] On Bochner-Martinelli residue currents and their annihilator ideals

Mattias Jönsson, Elizabeth Wulcan|ArXiv.org|Nov 5, 2008

Commutative Algebra and Its Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、原点でのみ消失する正則芽の族に関連するBochner-Martinelliの残差カレントの幾何的特徴付けを提供し、それらの消滅イデアルが基礎となるイデアルのRees評価と関連することを示す。消滅イデアルがイデアルそのものと等しいのは、かつそれが完全交差イデアルであるときであり、非消滅成分がRees分解における本質的多重指数に正確に対応することを示している。

ABSTRACT

We study the residue current R^f of Bochner-Martinelli type associated with a tuple f=(f_1,...,f_m) of holomorphic germs at the origin in C^n, whose common zero set equals the origin. Our main results are a geometric description of R^f in terms of the Rees valuations associated with the ideal (f) generated by f and a characterization of when the annihilator ideal of R^f equals (f).

研究の動機と目的

• 原点でのみ消失する正則芽の族 $ f = (f_1, \dots, f_m) $ に付随するBochner-Martinelliの残差カレント $ R^f $ の消滅イデアルを理解すること。
• $ \text{ann}\,R^f = (f) $ となる条件を特定すること、これは残差理論における双対性原理の中心的役割を果たす。
• 残差カレント $ R^f $ の非消滅成分を、Rees評価およびイデアル $ (f) $ の対数的分解を用いて幾何的に記述すること。
• 特に完全交差でない場合に、$ R^f $ 及びその消滅イデアルが $ (f) $ の生成元の選び方に依存する程度を明確にすること。
• 残差カレント $ R^f $ の台と、Rees評価に対応する対数的分解における特異的除算因子との間の明確な関係を確立すること。

提案手法

• イデアル $ (f) $ の対数的分解 $ \pi: X \to (\mathbb{C}^n, 0) $ を用い、カレント $ R^f $ を $ X $ 上に持ち上げ、その構造を解析する。
• 多重指数 $ \mathcal{I} = \{i_1, \dots, i_n\} $ を、ある特異的除算因子 $ E \subset \pi^{-1}(0) $ において誘導される写像 $ [f_{i_1} \circ \pi : \dots : f_{i_n} \circ \pi] $ が全射であり、かつすべての $ k, \ell $ に対して $ \text{ord}_E(f_{i_k}) \leq \text{ord}_E(f_\ell) $ を満たすとき、本質的であると定義する。
• Hickelの結果を適用し、イデアル $ (f) $ と $ f $ のヤコビアン行列式との関係を確立することで、代数的および解析的不変量を結びつける。
• Anderssonの残差カレントにおける計量不変性の結果を用い、構成がヒルベルト計量の選択に依存しない、イデアル $ (f) $ に固有のものであることを保証する。
• 分解空間から $ \mathbb{C}^n $ へのカレントの押し出しを用い、$ R^f $ がRees評価に対応する特異的除算因子に台を持つことを示す。
• 具体的な例（例えば $ \pi(\sigma, \tau) = (\sigma^2\tau, \sigma) $）を用いた吹き上げによる計算により、$ R^f $ 及びその消滅イデアルを計算し、生成子の選び方や分解構造への依存性を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bochner-Martinelliの残差カレント $ R^f $ の消滅イデアルが、正則関数によって生成されるイデアル $ (f) $ と等しくなるのはいつか？
• RQ2 多重指数 $ \mathcal{I} $ が満たすべき幾何的条件は何か？ これにより、成分 $ R^f_{\mathcal{I}} $ が非ゼロとなる。
• RQ3 イデアル $ (f) $ のRees評価は、残差カレント $ R^f $ の構造および台とどのように関係するか？
• RQ4 特に $ (f) $ が完全交差でない場合に、消滅イデアル $ \text{ann}\,R^f $ は生成子の選び方にどの程度依存するか？
• RQ5 対数的分解における個々のRees除算因子の寄与から、消滅イデアル $ \text{ann}\,R^f $ を正確に計算できるか？

主な発見

• $ R^f $ の消滅イデアルは、 $ \overline{(f)^n} \subseteq \text{ann}\,R^f \subseteq (f) $ を満たし、 $ n \geq 2 $ のとき左側の包含は厳密である。右側の包含が等号となるのは、かつそれが完全交差イデアルであるときである。
• 成分 $ R^f_{\mathcal{I}} $ が非ゼロであるのは、多重指数 $ \mathcal{I} $ が本質的であるとき、すなわち対数的分解における特異的除算因子上で全射写像を誘導するときである。
• 消滅イデアル $ \text{ann}\,R^f $ は、イデアル $ (f) $ が固定されていれば、生成子 $ f_i $ の選び方に依存しない。ただし、個々の成分 $ R^f_{\mathcal{I}} $ は生成子の選び方に依存する可能性がある。
• 完全交差イデアルの場合、 $ \text{ann}\,R^f = (f) $ が成り立ち、双対性原理を確認する。このとき $ R^f $ は、Rees除算因子に台を持つカレントの押し出しとして表される。
• 明示的計算により、 $ \text{ann}\,R^f $ が個々の成分 $ R^f_{\mathcal{I}} $ の消滅イデアルの共通部分より真に小さくなることがあることが示され、異なるRees除算因子からの寄与が加法的でないことが示唆される。
• 例えば、2つのRees除算因子 $ E_1, E_2 $ を持つ分解において、 $ \text{ann}\,R^{E_1} \cap \text{ann}\,R^{E_2} \subsetneq \text{ann}\,R^f $ が成り立ち、全カレントがその成分よりもより多くの情報を捉えていることを示している。