[論文レビュー] On Bott-Chern forms with applications to differential K-theory

Vamsi Pritham Pingali, Leon A. Takhtajan|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2011

Geometry and complex manifolds被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、ケーリー・ホロモルフィックベクトル束とその標準接続を用いたチャーン＝ヴェイリ理論を用いて、非対角的計量を持つ自明なバンドル上のチャーン形式を明示的に計算する。任意の複素多様体上の (k,k)-形式が、自明バンドルのチャーン・キャラクター形式の差として現れることを示し、任意の実 (k,k)-形式（k < n）が、自明バンドル上の2つの計量のボット＝チヤン形式として現れることを示す。これは、シモンズとサリヴァンの結果の複素版に相当する。最初の項が線束である短完全系列のボット＝チヤン形式について明示的な公式が導出され、複素射影空間内の超曲面の全チャーン形式について簡潔な公式が得られる。

ABSTRACT

We use Chern-Weil theory for Hermitian holomorphic vector bundles with canonical connections for explicit computation of the Chern forms of trivial bundles with special non-diagonal Hermitian metrics. We prove that every del-dellbar exact real form of the type (k,k) on an n-dimensional complex manifold X arises as a difference of the Chern character forms of trivial Hermitian vector bundles with canonical connections, and that (modulo the image of del and delbar) every real form of type (k,k), k<n, arises as a Bott-Chern form for two Hermitian metrics on some trivial vector bundle over X. The latter result is a complex manifold analogue of Proposition 2.6 in the paper arXiv: 0810.4935 by J. Simons and D. Sullivan. As an application, we obtain an explicit formula for the Bott-Chern form of a short exact sequence of holomorphic vector bundles, considered by Bott and Chern in classic 1965 paper, for the case when the first term is a line bundle. We also present a very simple explicit formula for the total Chern form of a hypersurface in the complex projective space.

研究の動機と目的

• ケーリー・ホロモルフィックベクトルバンドル上の標準接続を用いた微分幾何的実現により、ボット＝チヤン形式を確立すること。
• 任意の複素多様体上の ∂̄-exact (k,k)-形式が、標準接続を備えた自明バンドルからのチャーン・キャラクター形式の差として現れることを示すこと。
• 任意の複素多様体上の実 (k,k)-形式（k < n）が、同一の自明ベクトルバンドル上の2つのヘルミート計量のボット＝チヤン形式として現れることを証明すること。
• 最初の項が線束であるホロモルフィックベクトルバンドルの短完全系列のボット＝チヤン形式について明示的な公式を導出すること。
• 複素射影空間内の超曲面の全チャーン形式について、簡潔で明示的な公式を提示すること。

提案手法

• ヘルミート・ホロモルフィックベクトルバンドルに標準接続を備えたチャーン＝ヴェイリ理論を用いて、曲率およびチャーン形式を計算すること。
• 自明ベクトルバンドルに非対角的ヘルミート計量を用いて、明示的なチャーン・キャラクター形式を生成すること。
• ∂ および ∂̄ の像を modulo として分解することにより、(k,k)-形式のコhomological構造を分析すること。
• ボット＝チヤン形式が、同一バンドル上の2つの計量のチャーン形式の差を測るものであるという事実を活用すること。
• ボットとチヤンが研究した古典的なホロモルフィックベクトルバンドルの短完全系列に結果を適用し、最初の項が線束である場合に注目すること。
• 上記の構成を用いて、複素射影空間内の超曲面の全チャーン形式について閉形式の表現を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の複素多様体上の ∂̄-exact 実 (k,k)-形式が、標準接続を備えた自明なヘルミート・ベクトルバンドルからのチャーン・キャラクター形式の差として実現可能か？
• RQ2 任意の複素多様体上の実 (k,k)-形式（k < n）が、同一の自明ベクトルバンドル上の2つのヘルミート計量のボット＝チヤン形式として現れ得るか？
• RQ3 最初の項が線束であるホロモルフィックベクトルバンドルの短完全系列に関連するボット＝チヤン類の明示的形は何か？
• RQ4 ボット＝チヤン形式を用いて、複素射影空間内の超曲面の全チャーン形式を簡潔で明示的に表現する方法は何か？
• RQ5 非対角的ヘルミート計量を備えた自明バンドルに対するチャーン＝ヴェイリ構成において、標準接続の役割は何か？

主な発見

• n次元の複素多様体上の任意の ∂̄-exact 実 (k,k)-形式が、標準接続を備えた2つの自明なヘルミート・ベクトルバンドルのチャーン・キャラクター形式の差として現れる。
• 複素多様体上の任意の実 (k,k)-形式（k < n）が、同一の自明ベクトルバンドル上の2つのヘルミート計量のボット＝チヤン形式として現れ、∂ および ∂̄ の像を modulo として考える。
• 最初の項が線束であるホロモルフィックベクトルバンドルの短完全系列のボット＝チヤン形式について、明示的な公式が導出された。
• 複素射影空間内の超曲面の全チャーン形式について、簡潔で閉形式の表現が得られた。
• この構成により、標準接続と非対角的計量を備えた自明バンドルを用いて、ボット＝チヤン類の微分K理論的解釈が可能になった。