[論文レビュー] On Bredon (Co-)Homological Dimensions of Groups

Martin Fluch|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 25

ひとこと要約

本学位論文は、 virtually 細胞的部分群の族に対する Bredon (co-)homological 次元を計算するためのホモロジー的道具を開発する。特に、可解 Baumslag–Solitar 群やその他のクラスに対して、正確な Bredon 次元を特定し、コhomological 次元と幾何的次元が一致する場合を解消する。幾何的下界を確立し、無限巡回拡大の分類空間の明示的モデルを構成する。

ABSTRACT

This is a revised version of the author's PhD thesis, including the corrections by the examiners. It also includes a few additional small corrections. In this thesis the objects of study are classifying spaces of groups with stabilisers in a given family of subgroups. Given a group G and a family of subgroups we study the minimal dimension a classifying space can have. We focus on classifying spaces with virtually cyclic stabilisers.

研究の動機と目的

• virtually 細胞的部分群の族に対する $\underline{\underline{E}}G$ の最小次元の分類空間モデルを特定すること。
• 任意の部分群族に対して Bredon (co-)homological 次元を計算するためのホモロジー的道具立てを構築すること。
• G が既知の $\underline{\underline{E}}B$ を持つ群 B の無限巡回拡大である場合、$\underline{\underline{E}}G$ の明示的モデルを構築すること。
• 可解で、無 torsion かつ可算な群が、$\underline{\underline{E}}G$ のために木をモデルとして持つ条件を分類すること。
• $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = 1$ が $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 1$ を含意する条件を確立すること。

提案手法

• Bredon コホモロジーを $\mathcal{O}_{\mathfrak{F}}G$-加群の圏で用い、$\mathfrak{F}$ に属する安定化子を持つ G-CW 複体を研究する。
• 分類空間 $E_{\mathfrak{F}}G$ を用いて、Bredon (co-)homological 次元の下界を幾何的手段で導出する。
• G が B の無限巡回拡大であるとき、$\underline{\underline{E}}B$ のモデルから $\underline{\underline{E}}G$ のモデルを構成する。
• Bredon モジュールのシャピロの補題およびテンソル積技法を用いて、分解と次元を分析する。
• Lück と Weiermann の結果を用いて、Bredon 幾何的次元 1 の群を分類する。
• コホモロジー次元 2 の可解群の分類結果を応用し、Bredon 次元を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた群 G に対して、$\underline{\underline{E}}G$ のために必要な G-CW 複体の最小次元は何か？
• RQ2 $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = 1$ が $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 1$ を含意する条件は何か？
• RQ3 可解 Baumslag–Solitar 群の Bredon (co-)homological 次元は何か？
• RQ4 可算で、無 torsion かつ可解な群の中で、$\underline{\underline{E}}G$ のために木をモデルとして持つものはどれか？
• RQ5 無限巡回拡大において Bredon 次元はどのように振る舞うか？

主な発見

• 可解 Baumslag–Solitar 群 $G \cong \mathbb{Z}[1/m] \rtimes \mathbb{Z}$ で $|m| \neq 1$ の場合、Bredon (co-)homological 次元および幾何的次元はすべて 2 に等しい。
• 可算で、無 torsion かつ可解な群に対して、$\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = 1$ であることと $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 1$ であることとは同値であり、これは G が局所的に virtually 細胞的ではあるが、vritually 細胞的ではないときに限り成立する。
• $\mathbb{Z}[1/m] \rtimes \mathbb{Z}$ は $\operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{hd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 2$ を満たし、この場合に Eilenberg–Ganea 猜定が Bredon コホモロジーにおいて成立することを確認する。
• virtual cohomological 次元 2 の virtually polycyclic 群に対して、Bredon 次元は $\operatorname{\underline{\underline{hd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 3$ を満たす。これには $\mathbb{Z}^2$ および $\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}$ が含まれる。
• ラムプレーター群 $\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ は $\operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 2$ を満たし、$\underline{\underline{E}}G$ のために 2 次元モデルを持つ群の具体的な例を提供する。
• Gromov-双曲的で $\operatorname{\underline{gd}}G \leq 2$ かつ virtually 細胞的でない群に対して、$\operatorname{\underline{\underline{hd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{cd}}}G = \operatorname{\underline{\underline{gd}}}G = 2$ が成り立つ。これには、ランク $\geq 2$ の自由群や、有限群のグラフの基本群が含まれる。