[論文レビュー] On Brownian limits of planar trees and maps with a prescribed degree sequence

Cyril Marzouk|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 23被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、構成モデルを用いて、所定の次数列をもつランダム平面図を研究し、適切なスケーリングのもとで、顕著な次数をもつ面がない場合、それらが分布収束してブラウン運動的マップまたはブラウン運動的ディスクに収束することを証明している。内部の面に顕著な次数がある場合、これらの図は逆にブラウン運動的CRTに収束する。これは、コーシー型臨界重みに関する文献の空白を解消する。

ABSTRACT

We study a configuration model on bipartite planar maps where, given $n$ even integers, one samples a planar map uniformly at random with these face degrees. We prove that when suitably rescaled, such maps always admit subsequential limits as $n o \infty$ in the Gromov-Hausdorff-Prokhorov topology. Further, we show that they converge in distribution towards the celebrated Brownian map, and more generally a Brownian disk for maps with a boundary, if and only if there is no inner face with a macroscopic degree, or, if the perimeter is too big, the maps degenerate and converge to the Brownian CRT. The latter case include that of size-conditioned Boltzmann map associated with critical weights in the domain of attraction of a Cauchy distribution, which was missing in the literature. Our proofs rely on bijections with random labelled plane trees, which are similarly sampled uniformly given $n$ outdegrees. Along the way, we obtain some results on the geometry of such trees, such as a convergence to the Brownian CRT but only in the weaker sense of subtrees spanned by random vertices, which are of independent interest.

研究の動機と目的

• 固定された面次数列の下でランダム平面図のスケーリング極限を理解すること。
• このような図がブラウン運動的マップまたはブラウン運動的CRTに収束する条件を特定すること。
• コーシー分布の吸引域にある臨界重みをもつ図に関して、文献に欠落していた部分を埋めること。
• 境界条件をもつ図の収束を調べ、ブラウン運動的ディスクに拡張すること。

提案手法

• 与えられた面次数列をもつ平面図を一様にサンプリングするための構成モデルの使用。
• 所定の出次数をもつラベル付き平面木との間の双対性の応用。
• Gromov-Hausdorff-Prokhorov位相における図のスケーリングによる極限挙動の分析。
• ランダムな頂点によって生成される部分木を通じたランダム木の幾何構造の分析により、ブラウン運動的CRTへの弱い意味での収束を示す。
• 顕著な面の出現とその極限挙動への影響を特定するための確率論的技法の使用。
• 既知のランダム木の収束結果を活用し、対応する図の極限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された次数列をもつランダム平面図が、Gromov-Hausdorff-Prokhorov位相において、いつブラウン運動的マップに収束するか。
• RQ2 一部の面が全サイズに対して顕著な次数をもつ場合、スケーリング極限はどのように変化するか。
• RQ3 コーシー分布の吸引域にある臨界重みをもつ図に関して、ブラウン運動的CRTへの収束は成立するか。
• RQ4 境界条件は、特にブラウン運動的ディスクとの関係において、極限対象にどのように影響するか。
• RQ5 所定の出次数をもつランダム木の幾何構造を用いて、対応する平面図の性質を推論できるか。

主な発見

• 顕著な次数をもつ面がない場合、所定の次数列をもつ図は分布収束してブラウン運動的マップに収束する。
• 顕著な次数をもつ面が存在する場合、特に周囲が大きすぎる場合、図はブラウン運動的CRTに収束する。
• コーシー分布の吸引域にある臨界重みをもつ場合のブラウン運動的CRTへの収束は、以前は未解決であったが、本稿で解消された。
• ランダムラベル付き木におけるランダム頂点によって生成される部分木の収束は、ブラウン運動的CRTに弱い意味で成立するが、完全な木位相では成立しない。
• 極限挙動は、顕著な面の有無によって完全に特徴づけられ、中間的状態は存在しない。
• 図と木との間の双対性により、木からの収束結果を図に移すことができ、これが主な収束定理の導出を可能にした。