[論文レビュー] On $C^*$-algebras Associated to Certain Endomorphisms of Discrete Groups

Ilan Hirshberg|ArXiv.org|Dec 28, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、離散的アーベル群 $G$ の左正則表現と、有限インデックスの像をもつ単射自己準同型 $\alpha: G \to G$ に付随する等長変換 $S$ によって生成される C*-代数 ${\cal E}_\alpha$ を構成する。$\alpha$ が純粋的かつ完全正規であるとき、${\cal E}_\alpha$ が単純であることを示す。その証明には、ゲージ不変部分代数と、ゲルファンド変換およびソリノイド型空間上のスペクトル解析を用いた表現論的技法が用いられる。

ABSTRACT

Let α:G --> G be an endomorphism of a discrete amenable group such that [G:α(G)]

研究の動機と目的

• 群 $G$ の左畳み込み作用素と、$[G: \alpha(G)] < \infty$ を満たす単射自己準同型 $\alpha: G \to G$ に由来する等長変換によって生成される C*-代数の構造を研究すること。
• 非可逆な自己準同型へのクロスド・積構成の一般化として、特定の交換関係および射影関係を満たす普遍 C*-代数 ${\cal E}_\alpha$ を導入すること。
• ${\cal E}_\alpha$ が単純であるための条件を確立すること、特に $G$ がアーベル的で $\alpha$ が純粋的かつ完全正規である場合を想定すること。
• ゲージ不変部分代数 ${\cal F}$ を、群ガロア C*-代数の帰納的極限として記述し、それをソリノイド型空間における代数のスペクトルと関連付けること。

提案手法

• すべての $x \in G$ に対して $S\delta_x = \delta_{\alpha(x)}S$ を満たすように、$\mathbb{C}G$ と等長変換 $S$ によって生成される普遍 C*-代数 ${\cal E}_\alpha$ を定義する。
• $\gamma_t(S) = tS$, $\gamma_t(a) = a$（$a \in \mathbb{C}G$）で定義される ${\cal E}_\alpha$ 上の $\mathbb{T}$-作用 $\gamma_t$ を導入し、ゲージ不変部分代数 ${\cal F} = \{ a \in {\cal E}_\alpha \mid \gamma_t(a) = a \}$ を定義する。
• ${\cal F}$ が $P_n = S^n S^{*n}$ を用いて $\delta_x P_n \delta_y$ の線形閉包として表され、${\cal F}_n$ が $D \times G$ の群ガロア C*-代数として特定されることを示す。ここで $D$ は $G$ における $\alpha^n(G)$ の右陪集合の対の群ガロアである。
• 三重記法 $(x,k,y) = \delta_{x\alpha^n(k)} P_n \delta_y$ を用いて ${\cal F}_n$ 内の乗法を記述し、合成則 $(x,k,y)(z,l,w) = (x,kl,w)$（$y = z^{-1}$ のとき）、さもなければ 0 とする。
• $\hat{{\cal A}}$ をゲージ不変部分代数のスペクトルとし、$L^2(\hat{{\cal A}}, \nu)$ 上に ${\cal E}_\alpha$ の表現 $\pi$ を構成する。ゲルファンド変換を用いて $E(a)$ のスペクトルを解析する。
• $\|\pi(a)\| \geq |\widehat{E(a)}(\omega)|$ が、$R_1^{\mathbb{N}}$ 内の無限列に付随する特性関数 $\chi_{B_n}$ の列を用いて、ほとんどすべての $\omega$ に対して成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己準同型 $\alpha$ に由来する等長変換と群の左正則表現によって生成される C*-代数 ${\cal E}_\alpha$ が単純であるための条件は何か？
• RQ2 ゲージ不変部分代数 ${\cal F}$ はどのように分解され、群ガロア C*-代数の観点からどのような構造を持つのか？
• RQ3 無限列の非テイル交差集合が、${\cal E}_\alpha$ の表現のスペクトル解析において果たす役割は何か？
• RQ4 期待値写像 $E: {\cal E}_\alpha \to {\cal F}$ は表現とどのように作用し、その忠実性が単純性の証明においてなぜ重要なのか？
• RQ5 ${\cal E}_\alpha$ の構造は群ガロア構成によって記述可能か？また、それと「本質的純粋性」の概念とはどのように関係するか？

主な発見

• ${\cal F}$ は、${\cal K}(l^2(\alpha^n(G)\backslash G)) \otimes C^*(G)$ の帰納的極限と同型であり、包含写像 $\iota_n: {\cal F}_n \to {\cal F}_{n+1}$ は $\iota_n((x,k,y)) = (x,\alpha(k),y)$ で与えられる。
• $R_1^{\mathbb{N}}$ 内の非テイル交差列の集合は、不変測度 $\mu$ に関して稠密かつ全測度を占め、スペクトル解析の一般性を保証する。
• 任意の ${\cal E}_\alpha$ の表現 $\pi$ に対して、スペクトルの稠密な部分集合における $\omega$ に対して $\|\pi(a)\| \geq |\widehat{E(a)}(\omega)|$ が成り立つ。これは単純性の証明において鍵的である。
• $G$ がアーベル的で $\alpha$ が純粋的かつ完全正規であるとき、${\cal E}_\alpha$ は単純である。これは、$E$ の忠実性と $\ker(\pi)$ が $E$ に関して不変であることから、任意の非ゼロ表現が忠実である必要があることによる。
• ${\cal A}$ のスペクトル $\hat{{\cal A}}$ には測度 $\nu$ が存在し、$\widehat{E(a)}(\omega) = \lim_{n \to \infty} \langle \pi(\chi_{B_n} a \chi_{B_n}) \xi_0, \xi_0 \rangle$ が成り立つ。これにより、ゲルファンド変換と自己準同型の力学的挙動が結びつけられる。
• この構成は、ソリノイド空間 $\hat{{\cal A}}$ 上への $\mathbb{Z}$ の作用に付随する変換群ガロアの C*-代数と同値であり、対応する群ガロアは本質的に純粋的であり、非自明な不変部分集合をもたない。