[論文レビュー] On C*-algebras Associated with Sofic Shifts

Toke Meier Carlsen|ArXiv.org|Sep 14, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、任意のsoficシフト Λ に対して、MatsumotoのC*-代数 𝒪_Λ が、Λ の左Krieger被覆グラフに付随するCuntz-Krieger代数と同型であることを確立する。同型写像は、左Krieger被覆の構造と 𝒪_Λ の生成部分等長射影作用素を用いて、双方の代数間で互いに逆となる*-準同型写像を定義することにより、普遍的性質を用いて構成される。

ABSTRACT

We show that for a sofic shift Lambda, Matsumoto's C*-algebra O_Lambda is isomorphic to the Cuntz-Krieger algebra of the left Krieger cover graph of Lambda.

研究の動機と目的

• soficシフト Λ に対して、MatsumotoのC*-代数 𝒪_Λ がその左Krieger被覆グラフに付随するCuntz-Krieger代数と同型であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• soficシフト上での2つのC*-代数構成—MatsumotoのものとCuntz-Kriegerのもの—の間の構造的関係を確立すること。
• 両代数のK₀およびK₁不変量が一致することを証明し、さらに完全な*-同型写像を構成すること。
• C*-代数の普遍的性質を活用して、両代数間の逆となる*-準同型写像を定義および検証すること。
• 左Krieger被覆グラフの代数的構造が、soficシフトのC*-代数的構造を完全に捉えていることを示すこと。

提案手法

• 生成子 s_e を S_{ℒ(e)}E_{r(e)} に写すことで、Cuntz-Krieger代数 𝒪_{B_Λ} からMatsumoto代数 𝒪_Λ への*-準同型写像 ϕ を構成する。
• S_i を ∑_{ℒ(e)=i} s_e に、E_{r(e)} を s_e^*s_e に写すことで、𝒪_Λ から 𝒪_{B_Λ} への双対*-準同型写像 ψ を構成する。
• 生成子が満たす関係に基づいて、Cuntz-Krieger代数の普遍的性質を用いて、これらの準同型写像の存在を保証する。
• 部分等長射影の直交性および範囲射影の性質を用いて、合成写像 ϕ∘ψ および ψ∘ϕ がそれぞれの代数上で恒等写像であることを検証する。
• 生成子の乗法および随伴関係の整合性を保証するために、左Krieger被覆グラフの左解体性を活用する。
• 𝒟_Λ とシリンダ集合上の特性関数の代数との同型を用いて、𝒪_Λ の射影をシフト空間上の可測集合に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 soficシフト Λ に対して、MatsumotoのC*-代数 𝒪_Λ は、その左Krieger被覆グラフに付随するCuntz-Krieger代数と同型であるか？
• RQ2 左Krieger被覆構造の下で、Cuntz-Krieger代数を定義する普遍的関係とMatsumoto代数の関係が整合するか？
• RQ3 両代数のK₀およびK₁不変量を完全な*-同型写像にまで持ち上げることは可能か？
• RQ4 左Krieger被覆グラフは、soficシフトのC*-代数の完全な代数的モデルを提供するか？
• RQ5 𝒪_Λ の生成部分等長射影を、左Krieger被覆を介してCuntz-Krieger代数の生成子に体系的に持ち上げることは可能か？

主な発見

• soficシフト Λ に付随するC*-代数 𝒪_Λ は、その左Krieger被覆グラフに付随するCuntz-Krieger代数 𝒪_{B_Λ} と同型である。
• 同型写像は、ϕ: 𝒪_{B_Λ} → 𝒪_Λ および ψ: 𝒪_Λ → 𝒪_{B_Λ} という、互いに逆となる2つの*-準同型写像によって明示的に構成される。
• 写像 ψ は S_i を ∑_{ℒ(e)=i} s_e に、E_{r(e)} を s_e^*s_e に写し、Cuntz-Krieger代数の普遍的関係を保存する。
• 写像 ϕ は s_e を S_{ℒ(e)}E_{r(e)} に写し、直交性および射影関係のおかげで、合成写像 ϕ∘ψ が 𝒪_Λ 上で恒等写像として作用する。
• 合成写像 ψ∘ϕ は 𝒪_{B_Λ} 上で恒等写像として作用し、ϕ と ψ が互いに逆同型写像であることを確認する。
• 証明は、部分等長射影の乗法および随伴関係の整合性を保証するため、左Krieger被覆グラフの左解体性に依存している。