[論文レビュー] On C1-robust transitivity of volume-preserving flows

Mário Bessa, Jorge Rocha|ArXiv.org|Jul 17, 2007

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、次元 $n \geq 4$ のコンpakト多様体上の $C^1$-安定に混合される体積保存型流れが、特異点を持たず、ベクトル場が $C^4$ のとき線形Poincaré流れに支配的分解を有することを確立する。これらの結果は、$C^1$-体積保存型摂動技術を用いて、古典的な安定混合定理を保存的設定へと拡張したものであり、Franksの補題の保存的版およびArbieto-Matheusの貼り合わせ補題を含む。

ABSTRACT

We prove that a divergence-free and C1-robustly transitive vector field has no singularities. Moreover, if the vector field is C4 then the linear Poincare flow associated to it admits a dominated splitting over M.

研究の動機と目的

• 一般およびシンプレクティック流れにおける $C^1$-安定混合の結果を保存的（体積保存）設定へと拡張すること。
• 次元 $n \geq 4$ の多様体上での $C^1$-安定に混合される発散なしベクトル場が特異点を持たないことを示すこと。
• ベクトル場が $C^4$ のとき、線形Poincaré流れに支配的分解が存在することを確立すること。
• $C^1$-保存的摂動道具（特に保存的Franksの補題）を開発し、これらの結果を証明すること。
• 安定混合が保存的クラスで成立するならば、支配的分解を介して弱双曲性が導かれるということを示すこと。

提案手法

• 非保存的流れのためのVivierおよびBonatti-Gourmelon-Vivierの証明戦略を体積保存型文脈へと適応する。
• Arbieto-Matheusの貼り合わせ補題を用いて、混合性を保ちつつベクトル場の $C^1$-保存的摂動を構成する。
• 周期軌道を保ち、線形Poincaré写像の固有値をすべて $\pm 1$ に変更する $C^1$-近いベクトル場 $Y$ を構成する。
• 軌道弧に沿って、元のと摂動されたPoincaré写像の間を補間する1パラメータ族の線形写像 $A_t^j$ を定義する。
• Lemma 3.2 に示される $C^1$-保存的摂動補題を適用し、周期軌道のチューブ近傍でベクトル場を摂動し、軌道上の流れに影響を与えないようにする。
• 重複する整合性を保ちながら、連続する軌道弧にわたる局所摂動を貼り合わせ、所望のダイナミクスを保つグローバルな $C^1$ ベクトル場 $Y$ を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体積保存型設定における $C^1$-安定混合は特異点の不在を示唆するか？
• RQ2 どの正則性条件下で、保存的流れにおける $C^1$-安定混合が線形Poincaré流れに支配的分解をもたらすか？
• RQ3 $C^1$-保存的摂動を構成し、周期点における線形Poincaré写像を変更しながら混合性を保てるか？
• RQ4 $C^1$-安定に混合される保存的流れにおける支配的分解の証明には $C^4$ 正則性仮定が必要か？
• RQ5 安定混合と弱双曲性の文脈において、保存的設定は非保存的ケースと類似して取り扱えるか？

主な発見

• 次元 $n \geq 4$ のコンパクト多様体上での $C^1$-安定に混合される発散なしベクトル場は特異点を持たない。
• ベクトル場が $C^4$ のとき、線形Poincaré流れは多様体全体で支配的分解を有する。
• 特異点の不在は、単位的線形Poincaréモノドロミーを持つ周期軌道を生成する $C^1$-保存的摂動を用いた背理法によって確立される。
• 支配的分解は、安定混合を保ちつつ、支配的条件を破るようなベクトル場の $C^1$-摂動を構成することで得られる。
• 証明は $C^4$ 正則性を要する $C^1$-保存的摂動補題に依存している。
• $C^1$-安定に混合される体積保存型ベクトル場の $C^1$-稠密な部分集合が存在し、そのすべての要素が特異点を持たず、線形Poincaré流れに支配的分解を有する。