[論文レビュー] On Cantor-like sets and Cantor-Lebesgue singular functions

Robert DiMartino, Wilfredo Urbina|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、変動する区間の割合で反復的に区間を除去することで、さまざまなカントール型集合を構成することにより、古典的なカントール集合およびカントール＝レーベスグ特異関数を一般化する。ハウスドルフ次元の明示的公式を導出し、一般化された三進数に類似した展開を用いて、連続的で単調かつ特異な関数をこれらの集合上に構成し、正の測度をもつカントール型集合がハウスドルフ次元1をとることを示す。

ABSTRACT

In this paper we discuss several variations and generalizations of the Cantor set and study some of their properties. Also for each of those generalizations a Cantor-like function can be constructed from the set. We will discuss briefly the possible construction of those functions.

研究の動機と目的

• 変動する区間除去割合を用いて、反復的に新しい完全集合かつ非稠密集合を構成することにより、古典的なカントール三進集合を一般化すること。
• 特に正のルベーグ測度をもつ場合に、これらの一般化されたカントール型集合のハウスドルフ次元を分析すること。
• 集合の測度がゼロである場合に、連続的で単調かつ非減少であり、かつ特異な関数をこれらの集合上に構成すること。
• 一般化された区間長および重複度の列を用いて、古典的なカントール＝レーベスグ関数の構成を拡張すること。

提案手法

• 各段階で変動する割合の開区間の中間部分を除去することで、反復的にカントール型集合を構成する。これは、列{ k_n }および{ c_n }によって定義される。
• 一般化されたカントール集合 E^{k,c} を、各々が k_n 個の長さ c_n の閉区間の和集合である、入れ子になったコンパクト集合 C_n の共通部分として定義する。
• 連続する区間長の漸近的比を a とするとき、公式 dim_H = log k / (-log a) を用いてハウスドルフ次元を導出する。
• 一般化された三進数に類似した展開を用いてカントール＝レーベスグ関数 G^{k,c} を構成する：G^{k,c}(∑ε_j r_j) = ∑ε_j h_j、ここで h_j = 1/(k_1⋯k_j) である。
• 除去された区間上で関数値を対応する部分区間の左端点における関数値に等しく設定することで、連続性と単調性を保証する。
• 集合のルベーグ測度がゼロである場合に、その関数の導関数がほとんど everywhere でゼロであることを示すことにより、関数が特異であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各段階で変動する割合の区間を除去することで構成された一般化されたカントール型集合のハウスドルフ次元は何か？
• RQ2 一般化されたカントール型集合上に、系統的に特異的で連続的かつ単調な関数をどのように構成できるか？
• RQ3 一般化されたカントール型集合が正のルベーグ測度をもつための条件は何か？ そして、そのハウスドルフ次元にどのような影響を与えるか？
• RQ4 古典的なカントール＝レーベスグ関数の構成を、任意の列{ k_n }および{ c_n }に一般化することで、well-defined かつ連続な関数が得られるか？

主な発見

• 中央βカントール集合のハウスドルフ次元は log 2 / (log 2 - log(1 - β)) であり、β → 1 のとき1に等しくなる。これは正の測度を示唆する。
• k_n = 2 および c_n = (1/2)^n ∏_{j=1}^n (1 - β_j) である一般化されたカントール型集合のハウスドルフ次元は log 2 / (log 2 - log(lim_{n→∞}(1 - β_n))) に等しい。
• 一般化されたカントール＝レーベスグ関数 G^{k,c} は連続的で単調非減少であり、各除去区間上で定数となる。また、G^{k,c}(t + c_{n+1}) = G^{k,c}(t) + h_{n+1} を満たす。
• 基礎となるカントール型集合が正のルベーグ測度をもつ場合、そのハウスドルフ次元は正確に1である。これは、dim_H = 1 をもつ一般化された SVC(α,β) 集合において観察される。
• 関数 f(x) = (1/2)∑_{k=1}^∞ ε_k(x)/2^k は、標準的カントール集合から[0,1]への双対写像を定義し、非可算性を示す。
• 標準的カントール集合のルベーグ測度はゼロであり、1 - ∑_{n=1}^∞ 2^{n-1}/3^n = 0 として計算される。