[論文レビュー] On Cegrell's classes of $m$-subharmonic functions

Lu Hoang Chinh|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2013

Geometry and complex manifolds被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素多重調和関数のためのCegrellのクラスを一般化した、$m$-下調和関数の有限エネルギークラスを導入し、\cite{BBGZ09} にインspiredされた変分法を用いて、正の特異Radon測度$\mu$に対して退化する複素ヘッシアン方程式$(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m}=\mu$を解き、従来の知られていた範囲よりも広い設定において解の存在性と可積分性の性質を確立する。

ABSTRACT

We study finite energy classes of $m$-subharmonic functions which generalise Cegrell's classes for plurisubharmonic functions \cite{Ceg98}. We then use a variational method inspired of \cite{BBGZ09} to solve the degenerate complex Hessian equation $(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m}=\mu$, where $\mu$ is a positive singular Radon measure.

研究の動機と目的

• 複素多重調和関数のためのCegrellの有限エネルギークラスを、$m$-下調和関数の設定へ一般化すること。
• 特異な正のRadon測度$\mu$に対して、退化する複素ヘッシアン方程式$(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m} = \mu$の可解性を扱うこと。
• \cite{BBGZ09} からの変分法を$m$-下調和の文脈へ拡張し、解の存在性と可積分性を確立すること。

提案手法

• $m$-ヘッシアン測度の可積分性に基づいて、$m$-下調和関数の有限エネルギークラスを定義する。
• \cite{BBGZ09} からの変分法を適応し、$m$-ヘッシアンエネルギーを含む関数を制約のもとで最小化する。
• 滑らかな$m$-下調和関数の近似列に対する極限の議論を用いて解を構成する。
• $m$-下調和設定におけるエネルギー関数の強制性と下方連続性を確立する。
• エネルギー関数の最小化子が弱い意味で退化する複素ヘッシアン方程式を満たすことを証明する。
• 複素ヘッシアン作用素の構造と周囲多様体の幾何学的性質を活用して、測度$\mu$の特異性を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cegrellの複素多重調和関数のための有限エネルギークラスは、$m$-下調和設定へ拡張可能か？
• RQ2 \cite{BBGZ09} からの変分法は、特異測度に対して退化する複素ヘッシアン方程式を解くのに適用可能か？
• RQ3 測度$\mu$が正の特異Radon測度であるとき、$(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m} = \mu$の解がどのような可積分性および正則性の性質を持つのか？
• RQ4 $m$-下調和関数のエネルギークラスは、ヘッシアン方程式の解の存在性と一意性とどのように関係するか？
• RQ5 $m$-ヘッシアン測度は、解空間を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、Cegrellのクラスを一般化した$m$-下調和関数の有限エネルギークラスを構成し、特異測度を扱う自然な枠組みを提供する。
• 任意の正の特異Radon測度$\mu$に対して、退化する複素ヘッシアン方程式$(dd^c\varphi)^m\wedge \beta^{n-m} = \mu$の弱い意味での解$\varphi$が存在する。
• 解$\varphi$は定義された有限エネルギークラスに属し、$\mu$によって$m$-ヘッシアン測度が制御されることを保証する。
• 変分法によりエネルギー関数の最小化子が得られ、これがヘッシアン方程式の解に対応する。
• この方法により、$\mu$がLebesgue測度に関して絶対連続でない場合でさえも、解の存在が保証される。
• この枠組みにより、複素ヘッシアン方程式の既知の可解性が、特異性を有する測度のより広いクラスへと拡張される。