[論文レビュー] On certain arithmetic functions involving exponential divisors

László Tóth|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2006

Analytic Number Theory Research参考文献 13被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、指数的因子および指数的素因数分解可能な整数を含む算術関数を調査し、$ \phi^{(e)}(n)$, $ \tilde{\sigma}(n)$, $ \tilde{P}(n)$ などの関数を導入・分析する。主な結果として、それらの漸近的平均値および最大順序に関するものがある。特に、それらの和関数に対して正確な漸近公式を確立し、$ \tilde{P}(n)$ の最大順序を導出。$ \limsup_{n\to\infty} \frac{\tilde{P}(n)}{n\log\log n} = \frac{6}{\pi^2}e^{\gamma}$ を示した。本研究は、ディリクレ級数および乗法的関数の技法を用いて、$k$-自由および平方因子のない整数に関する先行研究を一般化する。

ABSTRACT

The integer $d$ is called an exponential divisor of $n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}>1$ if $d=\prod_{i=1}^r p_i^{c_i}$, where $c_i \mid a_i$ for every $1\le i \le r$. The integers $n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}, m=\prod_{i=1}^r p_i^{b_i}>1$ having the same prime factors are called exponentially coprime if $(a_i,b_i)=1$ for every $1\le i\le r$. In the paper we investigate asymptotic properties of certain arithmetic functions involving exponential divisors and exponentially coprime integers.

研究の動機と目的

• 指数的因子を含む算術関数の漸近的挙動を調査すること、特に $\phi^{(e)}(n)$, $\tilde{\sigma}(n)$, $\tilde{P}(n)$ を含むこと。
• 和関数 $\sum_{n\leq x} q_k^{(e)}(n)$ を研究することにより、$k$-自由および指数的平方因子のない整数に関する結果を一般化すること。
• $\tilde{P}(n)$ の最大順序を特定し、$\phi^{(e)}(n)$, $\tilde{\sigma}(n)$, $\tilde{P}(n)$ の平均順序に対する正確な漸近公式を確立すること。
• $\varphi_e(n)$ の順序、$\tilde{\sigma}(n)$ の最小順序、および $\omega(\phi^{(e)}(n))$ の最大順序に関する未解決問題を探索すること。

提案手法

• 本稿は、乗法的関数論およびディリクレ級数を用いて $\tilde{P}(n)$ を分析し、$\sum_{n=1}^\infty \frac{\tilde{P}(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)\zeta(2s-1)}{\zeta(3s-2)} W(s)$ の形のディリクレ級数表現を導出。ここで $W(s)$ は $\operatorname{Re}(s) > 3/4$ で絶対収束する。
• Sita Ramaiah と Suryanarayana の一般結果を用いて $\sum_{n\leq x} q_k^{(e)}(n)$ を推定し、$k$-自由整数に関する Walfisz の推定に依拠する。
• $\sum_{n\leq x} (\tilde{\sigma}(n))^u$ の場合、部分和法を用い、$0 < g(n) \leq 1$ を満たす $g(n) = (\tilde{\sigma}(n)/n)^u$ を評価し、$k=2$, $\beta = u$ を用いて補題2を適用する。
• $\tilde{P}(n)$ の最大順序は、Tóth と Wirsing の一般結果を $f(n) = \tilde{P}(n)/n$ に適用することにより導出。ここで $f(p^2) = 1 + 1/p$ および $\rho(p) = 1 + 1/p$ である。
• $\phi^{(e)}(n)$ が乗法的関数であり、$n$ の立方完全核にのみ依存することを示し、$\phi^{(e)}(p^a) = \phi(a)$ であるため、既知の乗法的関数の技法を適用可能となる。
• 部分和法および $\sum_{mn^2 \leq x} mn$ の推定を用いて、$\sum_{n\leq x} \tilde{P}(n)$ の漸近的評価を導出し、Pétermann と Wu の結果に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均順序 $\phi^{(e)}(n)$ は何か？ その漸近展開における定数は何か？
• RQ2 $u > 1/3$ のとき、$\sum_{n\leq x} (\tilde{\sigma}(n))^u$ の漸近的挙動は何か？ 誤差項は？
• RQ3 $\tilde{P}(n)$ の最大順序は何か？ そして $n\log\log n$ とどう関係するか？
• RQ4 $\sum_{n\leq x} \tilde{P}(n)$ の漸近公式は何か？ その主要項における定数 $C_4$ は何か？
• RQ5 $\Omega(\phi^{(e)}(n))$ の最大順序は何か？ どのような $n$ で達成されるか？

主な発見

• $\sum_{n\leq x} \phi^{(e)}(n)$ は、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$C_1 x + C_2 x^{1/3} + O(x^{1/5 + \varepsilon})$ の漸近展開を持つ。ここで $C_1$ と $C_2$ はオイラー積を用いて明示的に定義される。
• $u > 1/3$ のとき、$\sum_{n\leq x} (\tilde{\sigma}(n))^u$ は $C_3 x^{u+1} + O(x^{u+1/2} \delta(x))$ を満たす。ここで $\delta(x) = \exp(-A(\log x)^{3/5} (\log\log x)^{-1/5})$ であり、$C_3$ はオイラー積で与えられる。
• $\sum_{n\leq x} \tilde{P}(n)$ は $C_4 x^2 + O(x (\log x)^{5/3})$ の漸近的挙動を示す。ここで $C_4 = \frac{1}{2} \prod_p \left(1 + \sum_{a=2}^\infty \frac{\tilde{P}(p^a) - p \tilde{P}(p^{a-1})}{p^{2a}} \right)$ である。
• $\tilde{P}(n)$ の最大順序は、$\limsup_{n\to\infty} \frac{\tilde{P}(n)}{n \log\log n} = \frac{6}{\pi^2} e^{\gamma}$ を満たす。ここで $\gamma$ はオイラーの定数である。
• $\Omega(\phi^{(e)}(n))$ の最大順序は $\frac{2}{5} \frac{\log n}{\log\log n}$ であり、$n_k = (p_1 \cdots p_k)^5$（最初の $k$ 個の素数の積の5乗）のとき達成される。
• 本稿は、Wu の指数的平方因子のない整数に関する結果を一般化し、$k \geq 2$ のとき $\sum_{n\leq x} q_k^{(e)}(n)$ の漸近的評価を導出。Sita Ramaiah と Suryanarayana の技法を用いる。