[論文レビュー] On Certain Colouring Parameters of Graphs

Sudev Naduvath, S. Satheesh+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、頂点の色の分布を確率質量関数としてモデル化することで、グラフ彩色に統計的概念（平均と分散）を導入する。完全グラフ、サイクル、ホイール、k部グラフといった標準的グラフの彩色平均と分散の正確な値を導出し、正則k部グラフが色の分布が一様となり、平均 (k+1)/2 および分散 (k²−1)/12 を示すことが明らかになった。

ABSTRACT

Colouring the vertices of a graph $G$ according to certain conditions can be considered as a random experiment and a discrete random variable $X$ can be defined as the number of vertices having a particular colour in the proper colouring of $G$. In this paper, we extend the concepts of mean and variance, two important statistical measures, to the theory of graph colouring and determine the values of these parameters for a number of standard graphs.

研究の動機と目的

• 彩色の色の分布を確率分布として扱うことで、統計的測度（平均と分散）をグラフ彩色理論に拡張すること。
• 標準的グラフクラスの最小正則彩色における彩色平均と分散を定義し、計算すること。
• ブロックグラフやk部グラフのようなグラフにおける色の分布の一様性の構造的意味を調査すること。
• エッジ彩色や総彩色を含むさまざまなグラフ彩色タイプにおける和、平均、分散の今後の研究の基盤を確立すること。

提案手法

• ランダム変数Xを、与えられた色に割り当てられた頂点数として、頂点彩色をランダム実験としてモデル化する。
• 確率質量関数（p.m.f.）を f(i) = θ(cᵢ)/|V(G)| と定義する。ここで θ(cᵢ) は色 cᵢ を持つ頂点の数である。
• 彩色平均 μ꜀(G) = (∑i·θ(cᵢ)) / |V(G)| および分散 σ²꜀(G) = (∑i²·θ(cᵢ)/|V(G)|) − μ² を定義し、統計的モーメントに類似した形で扱う。
• 彩色和 ω꜀(G) を最小化する最小正則彩色を用いて χ-彩色平均と分散を計算する。
• 構造的性質を用いて θ(cᵢ) を特定することで、完全グラフ Kₙ、サイクル Cₙ、ホイール Wₙ、k部グラフといった標準的グラフにフレームワークを適用する。
• 色の分布の対称性および偶奇（n が偶数／奇数）に基づいて、平均と分散の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全グラフ Kₙ の最小正則彩色において、χ-彩色平均と分散は何か？
• RQ2 ホイールグラフ Wₙ のχ-彩色平均と分散は、n の偶奇に応じてどのように変化するか？
• RQ3 k部グラフが最小正則彩色において一様な色の分布を示す条件は何か？
• RQ4 ブロックグラフのχ-彩色平均と分散は、その構成要素構造とどのような関係にあるか？
• RQ5 平均と分散の概念は、エッジ彩色や総彩色といった他のグラフ彩色タイプに一般化可能か？

主な発見

• 完全グラフ Kₙ に対して、χ-彩色平均は (n+1)/2、χ-彩色分散は (n²−1)/12 である。
• サイクル Cₙ に対して、n が奇数のとき、χ-彩色平均は (n+1)/2、χ-彩色分散は (n²−1)/12 である。n が偶数のとき、χ-彩色平均は (n+1)/2、χ-彩色分散は (n²−4)/12 である。
• ホイールグラフ Wₙ に対して、n が奇数のとき、χ-彩色平均は (5n−3)/(2n)、n が偶数のとき (7n−8)/(2n) である。
• Wₙ のχ-彩色分散は、n が奇数のとき (n²+30n−31)/(4n²)、n が偶数のとき (n²+32n−64)/(4n²) である。
• 正則k部グラフに対しては、最小正則彩色がk色に一様な分布をもたらし、χ-彩色平均は (k+1)/2、分散は (k²−1)/12 となる。
• ブロックグラフは、各クリーク成分における一様彩色の組み合わせにより、離散一様分布の混合を示す。