[論文レビュー] On certain constructions of p-adic families of Siegel modular forms of even genus

Hisa-aki Kawamura|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 42被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Hidaのp進族の通常楕円モジュラー形式をDuke-Imamoḡlu上昇によって上昇させることにより、レベルp、偶数の genus 2n ≥ 2 に対するp進解析的族である正則Siegelカスプ形式の構成を行う。さらに、自明なNebentypusを持つ偶数のgenusのSiegel Eisenstein級数に対しても同様の構成を確立し、上昇された形式のフーリエ係数がΛ-族においてp進的に内挿されることを証明し、同じHida族に属する形式の上昇におけるpを法とする合同関係を支持する。

ABSTRACT

Suppose that p > 5 is a rational prime. Starting from a well-known p-adic analytic family of ordinary elliptic cusp forms of level p due to Hida, we construct a certain p-adic analytic family of holomorphic Siegel cusp forms of arbitrary even genus and of level p associated with Hida's p-adic analytic family via the Duke-Imamoglu lifting provided by Ikeda. Moreover, we also give a similar results for the Siegel Eisenstein series of even genus with trivial Nebentypus.

研究の動機と目的

• Hidaの通常楕円カスプ形式のp進族（レベルp）をDuke-Imamoḡlu上昇により、レベルp、偶数のgenus 2n ≥ 2 に対するSiegelカスプ形式のp進解析的族に上昇させる。
• 自明なNebentypusを持つ偶数のgenusのSiegel Eisenstein級数に対してもこの構成を拡張する。
• 上昇された形式のフーリエ係数が、変化する重みにおけるΛ-族においてp進的に内挿されることを示し、pを法とする合同関係を支持する。
• 同じHida族に属する楕円形式の上昇におけるp進合同関係について、数値的証拠を提供する。特にgenus 4について。

提案手法

• Hidaのユニバーサル通常p安定化新形式族（レベルp）を、L関数の関手的性質を保つDuke-Imamoḡlu上昇により、genus 2nのSiegelカスプ形式に上昇させる。
• Hida族内の異なる重みにおける上昇形式のフーリエ展開を内挿することで、Λ-族のSiegelモジュラー形式を構成する。
• p進族を形式的q展開（有限平坦なΛ代数に係数をとる）としてパラメトライズするため、Iwasawa代数 Λ = ℤ_p[[1 + pℤ_p]] を用いる。
• フーリエ係数 F_l(T; X) のShintani上昇および誘導公式を用いて、上昇形式の係数を計算・比較する。
• Wolfram Mathematica 7 を用いた数値計算により、同じHida族に属する楕円形式の上昇におけるフーリエ係数のp進合同関係を検証する。
• 係数差のノルムを解析し、pで割り切れるかどうかを確認することで、共通のp進族の存在を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hidaのp進族（通常楕円カスプ形式、レベルp）は、Duke-Imamoḡlu上昇により、偶数のgenus 2n ≥ 2 に対するp進解析的族であるSiegelカスプ形式に上昇可能か？
• RQ2 上昇されたSiegelカスプ形式のフーリエ係数は、変化する重みにおけるq展開を内挿するΛ-族を形成するか？
• RQ3 自明なNebentypusを持つ偶数のgenusのSiegel Eisenstein級数に対するp進解析的族は、同じ上昇プロセスによりHida族から得られるか？
• RQ4 同じHida族に属する楕円形式の上昇におけるフーリエ係数は、pを法とするp進合同関係を満たすか？
• RQ5 数値的証拠により、同じHida族に属する形式の上昇におけるフーリエ係数の差がpで割り切れることが確認できるか？

主な発見

• p = 11 のとき、判別式121の行列におけるLift⁴(f₁₂) と Lift⁴(f₃₂) のフーリエ係数の差は、p = 11 で割り切れる。ノルムは 2⁸·3⁴·5⁵·11·171449·680531·35058959130397 に因数分解される。
• すべての 0 < T ∈ Sym₄*(ℤ) で 4 ≤ 𝔻_T ≤ 457 を満たすものについて、係数差 A_T(Lift⁴(f₁₂)) − A_T(Lift⁴(f₃₂)) のノルムは p = 11 で割り切れる。これはpを法とする合同関係を支持する。
• p = 19 の場合、Lift⁴(f₂₀) と Lift⁴(f₅₆) のフーリエ係数の間の数値的証拠が、p進合同関係を確認し、それらが同じ19進解析的族に属することを示唆する。
• i = 1,2,3 および 𝔻_T = 121 のとき、フーリエ係数 F₁₁(T_i; X) は 1 − 1452X + 161051X² に等しく、代表元間で一貫した局所L関数の振る舞いを示す。
• 偶数のgenus 2n ≥ 2 に対するΛ-族のSiegel Eisenstein級数は、期待されるものであり、(E_{k+n}^{(2n)})* の完全なq展開を内挿する。p進族の存在を支持する。
• Duke-Imamoḡlu上昇による構成により、上昇された形式の標準L関数が L(s, Lift^{(2n)}(f), st) = ζ(s) ∏_{i=1}^{2n} L(s + k + n − i, f) を満たすことが確認され、関手的性質が保証される。