[論文レビュー] On certain Cuntz-Pimsner algebras

Alex Kumjian|ArXiv.org|Aug 29, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 21被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$A$ を分離可能な単位元付き C*-代数とし、$\pi: A \to \mathcal{L}(\mathfrak{H})$ を $\pi(A)$ とコンパクト作用素の交わりが自明であるような忠実表現とするとき、ヒルベルト $A$-双加群 $E = \mathfrak{H} \otimes_\mathbb{C} A$ に付随する Cuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_E$ が単純かつ純粋無限であることを確立する。$A$ が核型でブートストラップクラスに属するならば、$\mathcal{O}_E$ は単位元付き Kirchberg 代数であり、Kirchberg-Phillips の定理により、$A$ の $K$-理論とその単位元の類によって完全に同型類が決定される。

ABSTRACT

Let $A$ be a separable unital C*-algebra and let $π: A a \Lc(\Hf)$ be a faithful representation of $A$ on a separable Hilbert space $\Hf$ such that $π(A) \cap \Kc(\Hf) = \{0 \}$. We show that $\Oc_E$, the Cuntz-Pimsner algebra associated to the Hilbert $A$-bimodule $E = \Hf \ot_{\C} A$, is simple and purely infinite. If $A$ is nuclear and belongs to the bootstrap class to which the UCT applies, then the same applies to $\Oc_E$. Hence by the Kirchberg-Phillips Theorem the isomorphism class of $\Oc_E$ only depends on the $K$-theory of $A$ and the class of the unit.

研究の動機と目的

• 左作用がコンパクト作用素と交わらない Hilbert $A$-双加群 $E = \mathfrak{H} \otimes_\mathbb{C} A$ に付随する Cuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_E$ の構造を分析すること。
• 条件 $\pi(A) \cap \mathcal{K}(\mathfrak{H}) = \{0\}$ の下で $\mathcal{O}_E$ の単純性と純粋無限性を確立すること。
• もし $A$ が核型でブートストラップクラスに属するならば、$\mathcal{O}_E$ が単位元付き Kirchberg 代数であることを示すこと、したがって $K$-理論とその単位元の類によって分類可能であること。
• $\mathcal{O}_E \cong \mathcal{T}_E$ であり、包含写像 $A \hookrightarrow \mathcal{O}_E$ が $KK$-同値を誘導することを示すこと。

提案手法

• $\mathcal{T}_E$ を $E$ のフォック空間上の作用素として構成し、ゲージ作用 $\lambda: \mathbb{T} \to \mathrm{Aut}(\mathcal{T}_E)$ を用いる。
• Takesaki-Takai双対性を適用して、$\mathcal{O}_E \otimes \mathcal{K}(L^2(\mathbb{T}))$ を二重交叉積 $({\mathcal{O}}_E \rtimes_\lambda \mathbb{T}) \rtimes_{\hat{\lambda}} \mathbb{Z}$ と関連付ける。
• 全 Connes スペクトルを持つ $\mathbb{Z}$ による交叉積のための Rørdam の鍵補題の版を用いる。この際、双対作用の Connes スペクトルが全であることが必要である。
• $\mathcal{O_}E$ が二重交叉積に等変に埋め込まれることを用い、補題を $\mathcal{O}_E$ に適用可能とする。
• Kirchberg-Phillips の定理を適用して、$A$ が核型かつブートストラップクラスに属するとき、$\mathcal{O}_E$ が $K_*(A)$ と $[1_A]$ によって完全に分類されることを結論づける。
• Pimsner の結果に従い、$\mathcal{O}_E \cong \mathcal{T}_E$ であり、包含写像 $A \hookrightarrow \mathcal{O}_E$ が $KK$-同値を誘導することを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Cuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_E$ が $E = \mathfrak{H} \otimes_\mathbb{C} A$ に対して単純かつ純粋無限であるための条件は何か？
• RQ2 Cuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_E$ が単位元付き Kirchberg 代数となるのはいつか？
• RQ3 $A$ が核型かつブートストラップクラスに属するとき、$A$ の $K$-理論が $\mathcal{O}_E$ の同型類をどのように決定するか？
• RQ4 Connes スペクトルは $\mathcal{O}_E$ の単純性と純粋無限性の証明において果たす役割は何か？
• RQ5 非コンパクトな左作用の設定において、$\mathcal{O}_E$ の構造は、縮小自由積やアマルガメートド自由積とどのように関係するか？

主な発見

• 分離可能な単位元付き C*-代数 $A$ と、$\pi: A \to \mathcal{L}(\mathfrak{H})$ が $\pi(A) \cap \mathcal{K}(\mathfrak{H}) = \{0\}$ を満たす忠実表現であるとき、Cuntz-Pimsner代数 $\mathcal{O}_E$ は単純かつ純粋無限である。
• もし $A$ が核型でブートストラップクラスに属するならば、$\mathcal{O}_E$ は単位元付き Kirchberg 代数であり、したがってその同型類は $K_*(A)$ と $[1_A]$ によって完全に決定される。
• $\mathcal{O}_E \cong \mathcal{T_}E$ である。これは、Pimsner の補題 3.14 により、$A$ の左作用がコンパクト作用素と交わらないことによる。
• 包含写像 $A \hookrightarrow \mathcal{O}_E$ が $KK$-同値を誘導する。これは、$K_*(A) \cong K_*(\mathcal{O}_E)$ となる単位元を保つ同型を示唆する。
• $A = C(X)$ で、$X$ を第二可算なコンパクト空間とし、$\mu$ をその全被覆を持つ非原子的ボレル測度とするとき、$\mathcal{O}_E$ は単位元付き Kirchberg 代数であり、その同型類は $\mu$ に依存せず、$(K_*(C(X)), [1_{C(X)}])$ のみに依存する。
• $X$ が可縮であるならば、$\mathcal{O}_E \cong \mathcal{O}_\infty$ である。これは、普遍的な単位元付き純粋無限 C*-代数である。