[論文レビュー] On certain integral functionals of squared Bessel processes

Umut Çeti̇n|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、平方付きBessel過程の積分的関数型とその最初の到達時刻の連続ラプラス変換を導出し、正確な小さな球確率の漸近的性質およびチャング型の繰り返し対数法則の導出を可能にする。さらに、時間反転された積分的関数型の無限小生成子を、非一様な純ジャンプマルコフ過程として特徴づけ、オプション価格評価や、満期にわずかに満たない状態のパット・オプションの漸近的価格への応用を示す。

ABSTRACT

Let $X$ be a squared Bessel process. Following a Feynman-Kac approach, the Laplace transforms of joint laws of $(U, \int_0^{R_y}X_s^p\,ds)$ are studied where $R_y$ is the first hitting time of $y$ by $X$ and $U$ is a random variable measurable with respect to the history of $X$ until $R_y$. A subset of these results are then used to solve the associated small ball problems for $\int_0^{R_y}X_s^p\,ds$ and determine a Chung's law of iterated logarithm. $(\int_0^{R_y}X_s^p\,ds)$ is also considered as a purely discontinuous increasing Markov process and its infinitesimal generator is found. The findings are then used to price a class of exotic derivatives on interest rates and determine the asymptotics for the prices of some put options that are only slightly in-the-money.

研究の動機と目的

• 平方付きBessel過程 X に対して、U が F_{R_y}-可測で、R_y が y に最初に到達する時刻であるとき、(U, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) の連続ラプラス変換を導出すること。
• ε → 0 のとき、積分的関数型 ∫₀^{R_y} X_s^p ds の小さな球確率を特定し、チャング型の繰り返し対数法則を導出すること。
• 時間反転された過程 Z^δ_x = ∫_{L_{1-x}}^{L_1} X_s^p ds の無限小生成子を特徴づけ、それが非一様な純ジャンプマルコフ過程であることを示すこと。
• 得られた結果を用いて、特にわずかに満たない状態のパット・オプションの漸近的価格を導出すること。
• δ = 4 の場合に、時間反転された積分的関数型と線形ブラウン運動の到達時刻との間に関係を確立すること。

提案手法

• 修正ベッセル関数を含む2階常微分方程式の解を用いて、マルティンゲール法とフェインマン＝ハック型の議論により、(U, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) の連続ラプラス変換を導出する。
• Bessel過程のスケール関数および最初の通過時刻の理論を用いて、最大値または最小値が R_y までに与えられた条件下での積分的関数型の条件付き分布を特徴づける。
• 修正ベッセル関数の漸近的解析を用いて、ε → 0 のときの ∫₀^{R_y} X_s^p ds の小さな球確率の挙動を導出する。
• 過程 (Σ^δ_{p,0,y})_y≥0 の時間反転を用いて Z^δ_x を定義し、ラプラス変換およびスケール関数の技術を用いてその無限小生成子を計算する。
• (R_y, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) の同時分布のラプラス変換を用いて、逆変換を行い、積分表現を用いてオプション価格を計算する。
• 積分的関数型の累積分布関数と関連付けることにより、パット・オプション価格の漸近的表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方付きBessel過程 X に対して、U が R_y までのフィルトレーションに適応しているとき、(U, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) の連続ラプラス変換は何か？
• RQ2 ε → 0 のとき、∫₀^{R_y} X_s^p ds の小さな球確率の挙動は何か？ また、これによりどのようなチャング型の繰り返し対数法則が導かれるか？
• RQ3 時間反転された過程 Z^δ_x = ∫_{L_{1-x}}^{L_1} X_s^p ds の無限小生成子は何か？ また、ブラウン運動の到達時刻とどのように関係するか？
• RQ4 導出されたラプラス変換を用いて、レートオプションの価格評価における漸近的価格を計算するにはどうすればよいか？
• RQ5 ストライクが非常に1に近い（すなわちわずかに満たない状態）とき、パット・オプション価格の漸近的挙動は何か？

主な発見

• (R_y, ∫₀^{R_y} X_s^p ds) の同時分布は、修正ベッセル関数 K_ν/(p+1) および I_ν/(p+1) を含む明示的表現を用いてラプラス変換によって特徴づけられる。
• |ν|/(p+1) = 1/2 のとき、X が R_y までに達する最大値（または最小値）が与えられた下での、∫₀^{R_y} X_s^p ds の条件付き分布は、3次元Bessel過程の最初の到達時刻と関連づけられる。
• ∫₀^{R_y} X_s^p ds の小さな球確率は、ε → 0 のとき −log P(∫₀^{R_y} X_s^p ds < ε) ∼ C ε^{−2(p+1)} を満たし、C は z と y に依存する。
• 過程 (Σ^δ_{p,0,y})_y≥0 に対して、y → ∞ のとき、チャング型の繰り返し対数法則が確立され、lim sup の挙動は y^{1/(p+1)} (log y)^{1/2} に比例する。
• 時間反転された過程 Z^δ_x の無限小生成子 ˜A_x は、非一様な純ジャンプ生成子であり、(2πb^3)^{-1/2} を含むLévy測度との畳み込みとして明示的に与えられる。
• δ = 4（つまり ν = 1, p = 1）の場合、Z^4_x はサブオーダーであり、標準ブラウン運動が x/2 に最初に到達する時刻 T_{x/2} と同分布である。