[論文レビュー] On certain sums of number theory

Olivier Bordellès|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2020

Analytic Number Theory Research被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、von Mangoldt関数 $\Lambda$ や divisor 関数 $\tau_r$、および関連する乗法的関数を含む算術的関数 $f$ に対して、$\sum_{n \leq x} f(\lfloor x/n \rfloor)$ の形をした和の誤差項の推定値を改善する。指数対と高度な指数和技法を用いて、$\Lambda$、$\tau$、$\tau_r$（$r \geq 3$）に対して $1/2$-バリアを破り、誤差項を $O(x^{97/203 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4778 + \varepsilon})$ まで低下させ、従来の境界を著しく改善する。

ABSTRACT

We study sums of the shape $\sum_{n \leqslant x} f \left( \lfloor x/n floor ight)$ where $f$ is either the von Mangoldt function or the Dirichlet-Piltz divisor functions. We improve previous estimates when $f = \Lambda$ and $f = au$, and provide new results when $f = au_r$ with $r \geqslant 3$, breaking the $\frac{1}{2}$-barrier in each case. The functions $f=\mu^2$, $f=2^\omega$ and $f=\omega$ are also investigated.

研究の動機と目的

• 様々な算術的関数 $f$ に対して、$\sum_{n \leq x} f(\lfloor x/n \rfloor)$ の誤差項を精緻化すること。
• $f = \Lambda$、$\tau_r$、$\mu^2$、$2^\omega$、$\omega$ の場合に、誤差項の指数において $1/2$-バリアを破ること。
• 現代の指数和技法と指数対理論を用いて、既存の結果を拡張・改善すること。
• Ramanujan予想および関連条件の下で、これらの和に対して明示的かつ定量的に鋭い誤差境界を提供すること。

提案手法

• ディリクレの双曲線法とバーラーの三角関数近似を用い、鋸歯関数 $\psi(x)$ を含む指数和に和を表現する。
• 指数対理論を適用して指数和 $\sum_{D < d \leq 2D} f(d) e(hx/d)$ を評価し、主要な境界は指数対 $(k, \ell)$ から得られる。
• ヴォーレの恒等式と $\Lambda$-関数の分解を用いて、von Mangoldt関数およびその変種を扱う。
• $\omega(n) = \sum_{p \mid n} 1$ および $2^\omega(n) = \sum_{d \mid\!\mid n} 1$ の恒等式を用い、$\omega$ および $2^\omega$ に関する和を二重線形形式に還元する。
• スリニヴァサーンの最適化補題を用いて、最適なパrameter（$N$ や $D$ など）を選択することで、最終的な境界における競合する誤差項をバランスさせる。
• Ramanujan予想 $f(n) \ll n^\varepsilon$ を用いて、主項および誤差項における収束性と成長の制御を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\sum_{n \leq x} \Lambda(\lfloor x/n \rfloor)$ の誤差項は、$O(x^{1/2 + \varepsilon})$ よりも改善可能か？
• RQ2 $r \geq 3$ のとき、$\sum_{n \leq x} \tau_r(\lfloor x/n \rfloor)$ の誤差項における最良の指数は何か？
• RQ3 $\sum_{n \leq x} \mu^2(\lfloor x/n \rfloor)$ および $\sum_{n \leq x} 2^{\omega(\lfloor x/n \rfloor)}$ の誤差項はどのように振る舞うか？
• RQ4 指数対法を用いて、$\sum_{n \leq x} \omega(\lfloor x/n \rfloor)$ の境界を、以前の結果を上回るように改善可能か？
• RQ5 $f$ が $f(n) \ll n^\varepsilon$ を満たす乗法的関数である場合、誤差項における最適な指数は何か？

主な発見

• $f = \Lambda$ の場合、誤差項は $O(x^{97/203 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4778 + \varepsilon})$ であり、$1/2$-バリアを破る。
• $f = \tau$ の場合、誤差項は $O(x^{19/40 + \varepsilon}) = O(x^{0.475 + \varepsilon})$ であり、以前の $O(x^{11/23 + \varepsilon})$ よりも改善される。
• $f = \tau_3$ の場合、誤差項は $O(x^{283/574 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.493 + \varepsilon})$ であり、$1/2$ に近づく。
• $f = \mu^2$ の場合、誤差項は $O(x^{1919/4268 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4496 + \varepsilon})$ であり、この関数に対しては初めてのこのような境界である。
• $f = 2^\omega$ の場合、誤差項は $O(x^{97/202 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4802 + \varepsilon})$ であり、以前の結果を改善する。
• $f = \omega$ の場合、誤差項は $O(x^{455/914 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4978 + \varepsilon})$ であり、さらに洗練された指数対を用いて $O(x^{0.4958 + \varepsilon})$ に改善される。