[論文レビュー] On certain sums over ordinates of zeta zeros

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|Dec 16, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、リーマン・ゼータ関数の非自明な零点の正の虚部 $ \gamma $ に対するディリクレ級数 $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $ を研究し、$ \sigma > -1 $ における解析接続を確立し、臨界帯における $ G(s) $ の鋭い評価を得ている。主な貢献は、リーマン予想を仮定しない条件下で、$ 0 \leq \sigma \leq 1 $ に対して $ G(s) \ll |t|^{1-\sigma} \log|t| + \log^2|t| $ という不等式を得たことである。この評価は、既存の推定を改善し、$ S(T) $、$ \zeta(1/2 + it) $ に関連する新しい平均平方および積分評価を可能にする。

ABSTRACT

Let $γ$ denote imaginary parts of complex zeros of the Riemann zeta-function $ζ(s)$. Certain sums over the $γ$'s are evaluated, by using the function $G(s) = \sum_{γ>0}γ^{-s}$ and other techniques. Some integrals involving the function $S(T) = (1/π)\argζ(1/2+iT)$ are also considered.

研究の動機と目的

• リーマン予想を仮定しない条件下で、非自明なゼータ関数零点の虚部に関するディリクレ級数 $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $ を研究すること。
• リーマン予想を仮定しない条件下で、$ G(s) $ の解析接続を半平面 $ \sigma > -1 $ に拡張すること。これまではリーマン予想を仮定する必要があった。
• 臨界帯 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ における $ G(s) $ の鋭い、リーマン予想を仮定しない評価を導出すること。既存の推定を改善する。
• 得られた $ G(s) $ の評価を応用し、$ S(T) $、$ \zeta(1/2 + it) $ の引数、および $ \zeta(1/2 + it) $ 自体に関連する新しい平均平方および積分評価を得ること。

提案手法

• 初期に $ \Re(s) > 1 $ に対して $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $ を定義し、ゼータ関数零点の数え上げ関数 $ N(T) $ の明示公式を用いて、$ G(s) $ をスティルチェス積分として表現する。
• $ \vartheta(T) $、$ S(T) $、$ f(T) $ を含む漸近展開と部分積分を適用し、$ \sigma > 0 $ に対して $ G(s) $ の積分表現を導出する。
• $ \int_0^T S(t) dt \ll \log T $ および $ \int_1^T S(t)^2 dt \ll \log^2 T $ という平均平方評価を用いて、積分表現における誤差項を制御する。
• 部分和公式およびコーシー＝シュワルツの不等式を用いて、級数 $ \sum_{\gamma > X} \gamma^{-s} $ の尾部を評価し、$ 0 \leq \sigma \leq 1 $ に対して $ G(s) \ll |t|^{1-\sigma} \log|t| + \log^2|t| $ という鋭い評価を得る。
• 得られた $ G(s) $ の評価を用いて、$ \int_T^{2T} |G(\sigma + it)|^2 dt $ の新しいリーマン予想を仮定しない平均平方評価を導出し、$ |\zeta(1/2 + it)|^2 $ と $ dS(t) $ との積分に関連付ける。
• $ |\zeta(1/2 + it)|^2 $ と $ dS(t) $、$ S(t) $、$ S^2(t) $ との積分をゼータ関数の零点に関する和に結びつけることで、$ \ll_{\varepsilon} T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $ の形の新しいリーマン予想を仮定しない評価を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界帯 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ における $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $ の最良のリーマン予想を仮定しない評価は何か？
• RQ2 リーマン予想を仮定しない条件下で、$ G(s) $ の解析接続を $ \sigma > -1 $ にまで拡張できるか？
• RQ3 平均平方評価 $ \int_T^{2T} |G(\sigma + it)|^2 dt $ の最良のリーマン予想を仮定しない評価は何か？
• RQ4 $ |\zeta(1/2 + it)|^2 $ と $ S(t) $ を含む積分はゼータ関数の零点に関する和とどのように関係するか？ そして、それらの最良のリーマン予想を仮定しない評価は何か？
• RQ5 ボンビエリ＝ヘイハルの補題を用いて、$ S(t) $ および $ \zeta(1/2 + it) $ を含む積分の評価を改善できるか？

主な発見

• 関数 $ G(s) $ は、リーマン予想を仮定しない条件下で、半平面 $ \sigma > -1 $ に解析接続可能であり、$ S(x) $ および $ f(x) $ を含む明示的な積分表現を持つ。
• リーマン予想を仮定しない条件下で、$ 0 \leq \sigma \leq 1 $ に対して $ G(s) \ll |t|^{1-\sigma} \log|t| + \log^2|t| $ という評価が確立された。これは、既存の推定を改善する。
• リーマン予想を仮定しない条件下で、平均平方評価 $ \int_T^{2T} |G(\sigma + it)|^2 dt \ll T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $ が導出された。
• リーマン予想を仮定しない条件下で、和 $ \sum_{0 < \gamma \leq T} |\zeta(1/2 + i\gamma)|^2 \ll_{\varepsilon} T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $ が確立された。これは、従来の評価に比べて顕著な改善である。
• 積分 $ \int_1^T |\zeta(1/2 + it)|^2 dS(t) \ll_{\varepsilon} T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $ がリーマン予想を仮定しない条件下で証明された。$ S(t) $ および $ S^2(t) $ に対しても同様の評価が得られた。
• 本稿では、ボンビエリ＝ヘイハルの補題を用いることで、$ \int |\zeta(1/2 + it)|^2 dS(t) $ に対してリーマン予想を仮定しない条件下で $ O(T \log^2 T) $ の評価しか得られないが、$ G(s) $ を用いた手法により、より強い評価が得られた。