[論文レビュー] On certain varieties attached to a Weyl group element

G. Lusztig|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、ウェイル群の元に関連する代数的多様体 $X_w$ を研究し、これらの多様体の準自己同型におけるブレード群の関係に焦点を当てる。縮約表現とブレードモノイド構造を用いて、特定のウェイル群の元に対して、多様体 $X_w$ がブレード群の関係と関連する分解をもつことを証明し、シュールとミッシェルのサイクロトミックヘッケ代数の文脈における以前の予想を拡張する。

ABSTRACT

Let w be an elliptic element of the Weyl group of a connected reductive group G. Let X be the set of pairs (g,B) where g is an element of G, B is a Borel subgroup of G and B,gBg^{-1} are in relative position w. Then G acts naturally on X. Assume that w has minimal length in its conjugacy class. We show that the set of G-orbits in X has a well defined structure of an affine algebraic variety V. When G is a classical group we show that this variety is an affine space modulo the action of a finite diagonalizable group. In this case we also construct some nontrivial automorphisms of X.

研究の動機と目的

• ウェイル群の元 $w$ に関連する多様体 $X_w$ の幾何的構造を理解すること。
• ブレードモノイド $\beta^+$ の文脈において、$X_w$ の準自己同型の間のブレード群の関係を確立すること。
• 特定の $w$ の場合について、シュールとミッシェルによるより強い予想（サイクロトミックヘッケ代数を含む）を検証すること。
• $w$ の同じ長さの $\cdot$-共役に問題を還元し、良い元を用いて解析を簡略化すること。
• ブレード移動の列を構成することで、定理 0.3(a) を証明すること。

提案手法

• コクセター群 $W$ に関連するブレードモノイド $\beta^+$ を用い、標準的写像により $W$ を $\beta^+$ に埋め込む。
• ジーク・ミッシェル、ジーク・キム・プフェッファー、およびヒの「良い元」に関する結果を応用し、$w$ を条件 ($*$) を満たす形に共役化する。
• 長さ $u$ の交互対 $s,t$ を順次置き換えることで、$w$ の縮約表現を $w_0$ のものに変換するブレード移動の列を構成する。
• 準同型 $\hat{\sigma}_i$ を用いて、$X_w$ の構造とブレード群作用との関係を関係づける。
• $X_w$ の点の安定化部分群 $Z$ を分析し、それがユニポテンツであり、ボレル部分群に含まれることを示す。
• $\beta^+$ における分解 $ww^\bullet w^{\bullet 2}\cdots w^{\bullet e-1} = 1$ および $\hat{w}\hat{w}^\bullet\cdots\hat{w}^{\bullet e-1} = \hat{w}_0 z$ を用いて、主結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウェイル群の元 $w$ に関連する多様体 $X_w$ の準自己同型において、どのようにしてブレード群の関係が生じるか？
• RQ2 シュールとミッシェルの、サイクロトミックヘッケ代数を含むより強い予想は、特定の $w$ に対して検証可能か？
• RQ3 $\cdot$-共役を用いた「良い元」は、$X_w$ の構造をどのように簡略化するか？
• RQ4 ブレードモノイド $\beta^+$ は、$w$ と $w_0$ の縮約表現の組合せ論をどのように記述するか？
• RQ5 $X_w$ における安定化部分群 $Z$ の幾何的意味は何か？

主な発見

• $w$ が条件 ($*$) を満たすとき、多様体 $X_w$ はブレード群の関係と関連する分解をもつ。この条件は、$\cdot$-共役の後で成立する。
• $w$ が ($*$) を満たすとき、$W$ において $ww^\bullet w^{\bullet 2}\cdots w^{\bullet e-1} = 1$ が成り立ち、$\beta^+$ において $\hat{w}\hat{w}^\bullet\cdots\hat{w}^{\bullet e-1} = \hat{w}_0 z$ が $z \in \beta^+$ に対して成り立つ。
• 左辺と右辺の生成子の数は $ke = f + h$ を満たす。ここで $k$ は $w$ の長さ、$e$ は指数、$f,h$ は $w_0$ と $z$ の長さである。
• ブレード移動の列は、長さ $u$ の交互対 $s,t$ をそのブレード像 $t,s,t,\dots$ に置き換えることで構成され、$\beta^+$ における積を保存する。
• $X_w$ の点の安定化部分群 $Z$ はユニポテンツであり、ボレル部分群に含まれる。これは作用の幾何的制約を確認する。
• 定理 0.3(a) の証明は、共役不変性と準同型を用いて、$w$ が ($*$) を満たす場合に還元される。