[論文レビュー] On character values and decomposition of the Weil representation associated to a finite abelian group

Amritanshu Prasad|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限アーベル群に関連するウェイユ表現に対する新しい代数的アプローチを提示し、ハウの公式によるキャラクターの絶対値の簡略化された証明を提供するとともに、表現の完全な既約成分への分解を確立している。奇数 $N$ の場合、$Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ のウェイユ表現の分解を明示的に記述し、レベル $n-2r$ が減少する成分に分解されることを示しており、各和成分は商写像を介して $Sp_{2g}(\bZ/p^{n-2r}\bZ)$ のウェイユ表現と同値である。

ABSTRACT

We develop a simple algebraic approach to the study of the Weil representation associated to a finite abelian group. As a result, we obtain a simple proof of a generalisation of a well-known formula for the absolute value of its character. We also obtain a new result about its decomposition into irreducible representations. As an example, the decomposition of the Weil representation of Sp_{2g}(Z/NZ) is described for odd N.

研究の動機と目的

• 有限アーベル群に関連するウェイユ表現に対するより単純で代数的なアプローチの開発。
• ウェイユ表現のキャラクターの絶対値に関するハウの公式の再証明および一般化。
• ウェイユ表現の完全な既約成分への分解の同定。
• $Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ のウェイユ表現の構造の特定（$N$ が奇数の場合）、特にレベル分解を含む。

提案手法

• $A$ を有限アーベル群とするとき、$L^2(A)$ 上のワイル作用素 $W_k = T_x M_\chi$ を用いて、$A$ 上のヘイゼンベルグ群 $G$ を定義する。
• ストーン＝フォンノイマン＝マッケイの定理を適用し、中心キャラクターが自明な既約ユニタリ表現の一意性を確立する。
• 中心を固定するヘイゼンベルグ群の自己同型群の射影表現としてウェイユ表現を構成する。
• 自己インターツィナーバー基底定理（定理 7.2）を用いてウェイユ表現の分解を分析する。
• $A = (\bZ/p^n\bZ)^g$（$p$ が奇数）の場合、$L^2(A)$ を部分空間 $U_{n-2r}^\pm$ の直和として分解し、その構造を活用する。
• 商写像 $q: SL_{2g}(\bZ/p^n\bZ) \to SL_{2g}(\bZ/p^{n-2r}\bZ)$ を用いて、$U_{n-2r}^\pm$ 上のウェイユ表現を低レベルの表現と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハウの元々の証明よりもより代数的かつ一般化可能な方法で、ウェイユ表現のキャラクター公式を再証明することは可能か？
• RQ2 奇数 $N$ の場合、$Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ のウェイユ表現の完全な既約成分への分解は何か？
• RQ3 ウェイユ表現のレベル（$N_m$ がスカラー作用をもたらす最大の $m$）は、分解全体にわたりどのように振る舞うか？
• RQ4 商写像を介して、$L^2((\bZ/p^n\bZ)^g)$ 上のウェイユ表現と $L^2((\bZ/p^{n-2r}\bZ)^g)$ 上のウェイユ表現との関係は何か？
• RQ5 $p$-進フィルトレーションのすべてのレベルにわたって、ウェイユ表現の分解を一様に記述することは可能か？

主な発見

• 任意の奇数の位数をもつ有限アーベル群に対して、ウェイユ表現のキャラクターの絶対値に関する新しい簡略化された証明が与えられる。
• 奇数 $N$ の場合、$Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ のウェイユ表現の分解が明示的に記述され、$L^2(A) = \bigoplus_{r=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (U_{n-2r}^+ \oplus U_{n-2r}^-)$ と表される。各成分の次元は $p^{g(n-2r)}$ を含む明示的公式で与えられる。
• 各既約成分 $U_{n-2r}^\pm$ はレベル $n-2r$ の射影表現を担い、$N_{n-2r}$ がスカラー作用をもたらすことを意味する。
• ウェイユ表現を $U_{n-2r}^\pm$ に制限すると、商写像 $q: Sp_{2g}(\bZ/p^n\bZ) \to Sp_{2g}(\bZ/p^{n-2r}\bZ)$ を介して $Sp_{2g}(\bZ/p^{n-2r}\bZ)$ のウェイユ表現と同値である。
• 全ウェイユ表現 $Sp_{2g}(\bZ/p^n\bZ)$ のレベルは $n$ であることが示され、$N_{n-1}$ に属するある元がスカラー作用をもたらさないことを示している。
• 一般の $N$ に対して、$Sp_{2g}(\bZ/N\bZ)$ のウェイユ表現は、$N$ の $p$-主成分におけるウェイユ表現のテンソル積である。