[論文レビュー] On character varieties, sets of discrete characters, and non-zero degree maps

Michel Boileau, Steven Boyer|ArXiv.org|Jan 14, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 46被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-表現の特性多様体を用いて、3次元多様体間の非零次数写像を調査する。小絡み多様体の基本群間の仮想的全射が、それらの特性多様体の代数的構造を制約することを確立し、そのような準同型写像にあらかじめ上限を与える。主な結果は、双曲的または幾何構造を持つ多様体へ非零次数写像をもたない無限個の小、閉、向きつけ可能な3次元多様体の族が存在することである。この写像は、同相写像を除いては存在しない。

ABSTRACT

In this paper we use character variety methods to study homomorphisms between the fundamental groups of 3-manifolds, in particular those induced by non-zero degree maps. A {\it knot manifold} is a compact, connected, irreducible, orientable 3-manifold whose boundary is an incompressible torus. A {\it virtual epimorphism} is a homomorphism whose image is of finite index in its range. We show that the existence of such homomorphisms places constraints on the algebraic decomposition of a knot manifold's $PSL_2(\mathbb C)$-character variety and consequently determine a priori bounds on the number of virtual epimorphisms between the fundamental groups of small knot manifolds with a fixed domain. In the second part of the paper we fix a small knot manifold $M$ and investigate various sets of characters of representations with discrete image in $PSL_2(\mathbb C)$. The topology of these sets is intimately related to the algebraic structure of the $PSL_2(\mathbb C)$-character variety of $M$ as well as dominations of manifolds by $M$ and its Dehn fillings. In particular, we apply our results to study families of non-zero degree maps $f_n: M(α_n) o V_n$ where $M(α_n)$ is the $α_n$-Dehn filling of $M$ and $V_n$ is either a hyperbolic manifold or $\widetilde{SL_2}$ manifold. We show that quite often, up to taking a subsequence, there is a knot manifold $V$, slopes $β_j$ on $\partial V$ such that $V_j \cong V(β_j)$, and a non-zero degree map $M o V$ which induces $f_j$ up to homotopy. The work of the first part of the paper is then applied to construct infinite families of small, closed, connected, orientable 3-manifolds which do not admit non-zero degree maps, other than homeomorphisms, to any hyperbolic manifold, or even manifolds with infinite fundamental groups.

研究の動機と目的

• 小絡み多様体の基本群に非零次数写像が与える制約を、特性多様体の手法を用いて理解すること。
• 小絡み多様体の$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$特性多様体における離散的かつねじれのない表現の集合の位相を分析すること。
• 小絡み多様体が、非零次数写像によって他の3次元多様体、特に双曲的または$\widetilde{SL_2}$多様体を支配する条件を特定すること。
• 支配関係において、ある種の多様体が、$\mathcal{H}$ や $\mathcal{M}$ に同相でない多様体を仮想的に支配しない最小性に関する結果を確立すること。
• 双曲的または幾何構造を持つ多様体へ非零次数写像をもたない無限個の閉、向きつけ可能な3次元多様体の族が存在することを証明すること。

提案手法

• 小絡み多様体の基本群の表現を分析するために、$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-特性多様体を用いる。
• 仮想的全射の条件を適用し、特に離散的かつねじれのない表現に対して、特性多様体の代数的分解を制約する。
• 像群の中心化子上での湾曲関数$\beta_{(\rho_1,A)}$を用い、定数性を検出することで、特性の剛性を特定する。
• $\rho(\Gamma_0)$がアーベル的だが$\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2$でない場合を分析し、トレースの恒等式を用いて湾曲関数が定数となる条件を特定する。
• $\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$における部分群$\mathcal{D}$（対角型）、$\mathcal{P}$（放物型）、$\mathcal{T}_+$（loxodromic型）、$\mathcal{N}$（正規化群）の構造を活用して表現を分類する。
• 小絡み多様体では、境界上の表現の像が自明または放物型である表現に対応する特性が有限個であるため、斜め（slope）に基づく離散的特性の分類が可能になることを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 小絡み多様体の基本群間の仮想的全射が、それらの$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$-特性多様体の代数的構造にどのような制約を与えるか？
• RQ2 湾曲関数$\beta_{(\rho_1,A)}$が定数となる条件は何か？ そして、これは表現$\rho$の可約性または共轭性とどのように関係するか？
• RQ3 どの小、閉、向きつけ可能な3次元多様体が、双曲的または幾何構造を持つ多様体へ非零次数写像をもたないか、同相写像を除いてはそのような写像を持たないか？
• RQ4 離散的かつねじれのない特性の集合の位相は、ドレインフィリングとターゲット多様体間の非零次数写像の存在とどのように関係するか？
• RQ5 双曲的または幾何構造を持つ多様体のクラスにおいて、支配関係において最小であるような3次元多様体の無限族を構成できるか？

主な発見

• 小絡み多様体$M$に対して、$\rho(\pi_1(\partial M))$が自明または放物型であるような表現$\rho: \pi_1(M) \to \mathrm{PSL}_2(\mathbb{C})$の特性は有限個である。
• 離散的かつねじれのない特性$\chi_\rho$に対して、唯一の斜め$\alpha$が存在し、$\rho(\alpha) = \pm I$を満たす。この$\alpha$が$\rho$の斜めを定義する。
• 湾曲関数$\beta_{(\rho_1,A)}$が定数であるための必要十分条件は、$\rho(\Gamma_1) \subset \mathcal{D}$ かつ $A = \pm \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$、または $\rho(\Gamma_1) \subset \mathcal{T}_+$ かつ $A \in \mathcal{T}_+$ であることである。このとき、表現は$\mathcal{N}$に可約または共轭化可能である。
• $\rho(\Gamma_0)$がアーベル的だが$\mathbb{Z}/2\oplus\mathbb{Z}/2$でない場合、湾曲関数の定数性は$\rho_1$と$A$に強い代数的制約を与える。
• 非零次数写像$f_n: M(\alpha_n) \to V_n$が双曲的または$\widetilde{SL_2}$多様体$V_n$へ存在するならば、特性多様体および境界表現の像に構造的制限が生じる。
• 双曲的多様体、または$\mathcal{M}$に属する任意の多様体へ非零次数写像をもたない、小、閉、連結、向きつけ可能な3次元多様体の無限族が存在する。この写像は、同相写像を除いては存在しない。