[論文レビュー] On characteristics of an ordinary differential equation and a related inverse problem in epidemiology

Ralph Brinks|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2012

advanced mathematical theories参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、慢性疾患疫学における年齢別有病率、発症率、死亡率を結びつける1次元の常微分方程式（ODE）を定式化する。発症率を有病率データから導出することは、解が不安定であるという意味で、逆問題として不適切であることを証明している。これは、有病率にわずかな誤差が生じるだけで、推定された発症率に任意に大きな誤差が生じる可能性があることを意味し、モデルの疫学的妥当性にもかかわらず、このような推定の不安定性が顕著であることを示している。

ABSTRACT

In this work we examine the properties of a recently described ordinary differential equation that relates the age-specific prevalence of a chronic disease with the incidence and mortalities of the diseased and healthy persons. The equation has been used to estimate the incidence from prevalence data, which is an inverse problem. The ill-posedness of this problem is proven, too.

研究の動機と目的

• 近年提案された、慢性疾患疫学における年齢別有病率と発症率・死亡率を結びつけるODEの数学的性質を分析すること。
• 観察された有病率データから発症率を推定する可能性と安定性を調査すること。これは、逆問題として知られる問題である。
• ハダマールの意味でこの逆問題が不適切であることを確立し、微小な摂動に対して不安定であることを示すこと。
• 解析的解が存在する条件と、数値的手法が必要となる条件を明確にすること。

提案手法

• 感受性（S）および症例（C）の人口に関するODEの連立方程式系に対して商の法則を適用し、3状態のコンpartimentモデル（正常、病変、死亡）から有病率動態の1次元ODEを導出する。
• 有病率 p(a) の変化率を dp/da = (1−p)·(i − (m − m₀)) として表現する。ここで i は発症率、m は全死亡率、m₀ は非病変群の死亡率を表す。
• 利用可能な死亡率情報に基づき、ODEの種別（線形、リッカティ、アーベル）を分類し、解析的解の存在を決定する。
• ハダマールの適切性基準を適用して、逆問題が不適切であることを証明し、有病率から発症率への逆演算子が不連続であることを示す。
• 高周波数の正弦波を含む有病率関数の系列を用いて、発症率推定における無限大に達する感度（不安定性）を示す。
• 時間定常性、持続期間依存死亡率の不在、病態の不可逆性といったモデルの限界を検討し、今後の研究において時間依存および持続期間依存モデルへの拡張を示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 年齢別発症率は、断面的有病率データを用いた微分方程式モデルによって信頼性高く推定可能か？
• RQ2 死亡率データに関する異なる仮定のもとで、導出された有病率動態のODEが示す数学的性質は何か？
• RQ3 有病率から発症率を推定する逆問題が、どのような条件下で不適切になるか？
• RQ4 ODEの種別（線形、リッカティ、アーベル）が、発症率推定の可解性および安定性に与える影響は何か？
• RQ5 有病率データに高周波数ノイズが存在する場合、導出された発症率の正確性にどのような影響があるか？

主な発見

• ODE dp/da = (1−p)·(i − (m − m₀)) は、数学的に整合性があり、疫学的に意味のある枠組みを提供し、有病率、発症率、死亡率を結びつける。
• ハダマールの意味で、有病率から発症率を推定する逆問題は不適切である。逆演算子が不連続であるためである。
• 有病率関数に微小で高周波数の摂動が加わると、推定された発症率に無限大に達する誤差が生じる可能性があり、不安定性が明確に示された。
• 解析的解は、ODEが線形である場合にのみ存在する。疫学的に関連性のある大多数の状況では、ODEはリッカティ型またはアーベル型であり、数値的解法が必要となる。
• モデルは時間定常性とリバースの不在を仮定しているが、追加の項を含めれば、リバースが存在する場合でも、基本的なODEは依然として有効である。
• 不適切性にもかかわらず、本モデルは、比較的安価な断面的疫学調査から発症率を推定する実用的手段を提供するが、不安定性のため注意が必要である。