[論文レビュー] On characters of Chevalley groups vanishing at the non-semisimple elements

Marco Antonio Pellegrini, Alexandre Zalesski|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有限単純 Lie 型群における |G|_p の次数の p-消滅特徴指標を調査し、シュタインベルク特徴指標の一般化を試みる。特徴指標論および p-消滅特徴指標の明示的分解を用いて、小ランクのほとんどすべての群においてシュタインベルク特徴指標が唯一のそれであることを証明するが、q に関する数論的条件を満たす特定の例外では、可約な p-消滅特徴指標が存在することが特定される。

ABSTRACT

Let G be a finite simple group of Lie type. In this paper we study characters of G that vanish at the non-semisimple elements and whose degree is equal to the order of a maximal unipotent subgroup of G. Such characters can be viewed as a natural generalization of the Steinberg character. For groups G of small rank we also determine the characters of this degree vanishing only at the non-identity unipotent elements.

研究の動機と目的

• 有限単純 Lie 型群における最大の冪零部分群の位数に等しい次数の p-消滅特徴指標を研究することで、シュタインベルク特徴指標を一般化すること。
• シュタインベルク特徴指標以外に、可約な p-消滅特徴指標 |G|_p を持つ群を同定すること。
• 小ランク群に対して、p-消滅特徴指標を既約成分に明示的に分解すること。
• p-モジュラー表現論に依存しない、すべての q に対して一様な結果を確立すること。
• モジュラー表現論における射影的モジュールおよび分解行列への影響を検討すること。

提案手法

• 著者たちは、Lie 型群の特徴指標の現代的理論を用いて、p-消滅特徴指標を分析する。
• 特徴表および既知の分解規則を用いて、p-消滅特徴指標を既約成分に分解する。
• PSL(6,q) のような群では、PSL(5,q) の分解から特徴指標の分解を導出し、シュタインベルク特徴指標と比較可能にする。
• 半単純元および冪零元における特徴指標値を計算し、非シュタインベルク p-消滅特徴指標が半単純元で消えないことを示す。
• p-モジュラー表現論に依存しない、すべての q に対して有効な一様的議論を適用する。
• 例外的な場合、たとえば q+1 が 3 または 7 で割り切れるような群に対して、明示的な特徴指標分解を表形式で提示する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限単純 Lie 型群において、シュタインベルク特徴指標が |G|_p の次数の唯一の p-消滅特徴指標であるか？
• RQ2 小ランクの群において、可約な p-消滅特徴指標 |G|_p が存在するための q に関する条件は何か？
• RQ3 さまざまな群の族にわたって、p-消滅特徴指標を既約特徴指標に明示的に分解する方法は何か？
• RQ4 分解行列の文脈において、p-消滅特徴指標と射影的モジュールの関係は何か？
• RQ5 |G|_p の次数のすべての p-消滅特徴指標は実数値を持ち、半単純元で非ゼロ値をとるか？

主な発見

• B3(q)、B4(q)、B5(q)、D4(q)、D5(q) を除くすべての Lie 型群において、シュタインベルク特徴指標は |G|_p の次数の唯一の p-消滅特徴指標である。これらの群については、結果は未解決のままである。
• A1(q)、A2(q)、2B2(q²)、2G2(q²) に対しては、すべての q において、可約な p-消滅特徴指標 |G|_p が存在する。
• 2A2(q)、A3(q)、A4(q) に対しては、q+1 が 3 で割り切れる場合に限り、可約な p-消滅特徴指標が存在する。
• C2(q) ≅ B2(q) に対しては、q+1 が 7 で割り切れる場合に限り、可約な p-消滅特徴指標が存在する。
• すべての |G|_p の次数の p-消滅特徴指標は実数値を持ち、半単純元でゼロでない値をとる。
• 定理 1.1 を満たす群において、射影的モジュールの特徴指標 Ψ と Φ について Ψ > Φ であるとき、次元の差は |G|_p（Ψ − Φ = St の場合に限る）または少なくとも 2|G|_p である。