[論文レビュー] On Cheeger constants of hyperbolic surfaces

Thomas Budzinski, Nicolas Curien+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2022

Geometric and Algebraic Topology被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、強度が消えるランダムなポisson–ボロノイタイルレーションを用いて、大 genus の閉じた双曲的曲面のチーリング定数に対する上界 $\frac{2}{\pi} \approx 0.63$ を確立している。この結果は、双曲的平面のチーリング定数 $h=1$ と比較して明確なギャップを示しており、グラフ理論における既知のギャップと類似している。また、このギャップは、高 genus の曲面に対して、チーリングの不等式が最適なスペクトル境界を導けないことを示唆している。

ABSTRACT

It is a well-known result due to Bollobas that the maximal Cheeger constant of large $d$-regular graphs cannot be close to the Cheeger constant of the $d$-regular tree. We prove analogously that the Cheeger constant of closed hyperbolic surfaces of large genus is bounded from above by $2/π\approx 0.63...$ which is strictly less than the Cheeger constant of the hyperbolic plane. The proof uses a random construction based on a Poisson--Voronoi tessellation of the surface with a vanishing intensity.

研究の動機と目的

• 大 genus の閉じた双曲的曲面の最大チーリング定数が、双曲的平面のそれより厳密に小さいという予想を解決すること。
• 大 genus の極限において、$d$-正則グラフ理論で知られている結果に類似した、チーリング定数に対する定量的上界を確立すること。
• 高 genus の双曲的曲面に対して、チーリングの不等式が最適なスペクトルギャップを導けない理由を示すこと。
• ランダムなポアソン–ボロノイタイルレーションに基づく確率的技法を開発し、双曲的曲面の等周的性質を分析すること。

提案手法

• 強度が消えるランダムなポアソン–ボロノイタイルレーションを、双曲的曲面上に構成し、双曲的平面の局所幾何をモデル化する。
• ポイントレス・ボロノイタイルレーションの極限的構成を用いて、双曲的平面における境界長さ密度を分析する。
• 独立同分布の公平なコイン投げによるボロノイセルのランダムな色分けを用いて、面積のおおよそ半分に相当するランダム部分集合 $A_\lambda$ を生成する。
• 双曲的円環上の幾何確率および積分推定を用いて、期待境界長 $\mathbb{E}[|\partial A_\lambda|]$ を推定する。
• 集中と尾確率の不等式を用いて、$|A_\lambda|$ が面積の半分に近く、かつ $|\partial A_\lambda|$ が小さい確率が正であることを示す。
• マルコフの不等式を適用し、$\frac{2}{\pi}(1+\delta)^2/(1-\delta)$ の形でチーリング定数 $h(\mathcal{S})$ の上界を導出し、$\delta \to 0$ のとき $\frac{2}{\pi}$ に収束することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大 genus の閉じた双曲的曲面の最大チーリング定数は、双曲的平面のそれより厳密に小さいか？
• RQ2 グラフの場合と同様に、大 genus の双曲的曲面のチーリング定数は、1 よりも厳密に小さい定数で上から抑えられるか？
• RQ3 チーリング定数のこのギャップが、高 genus の双曲的曲面のスペクトルギャップがチーリングの不等式によって最適に抑えられない理由であるか？
• RQ4 強度が消えるランダムなポアソン–ボロノイタイルレーションを用いて、双曲的曲面の等周的境界を導出できるか？

主な発見

• 任意の genus $g \geq 2$ の閉じた双曲的曲面について、$g \to \infty$ の極限においてチーリング定数は $\frac{2}{\pi} \approx 0.63$ で上から抑えられ、すなわち $\limsup_{g \to \infty} \sup_{\mathcal{S} \in \mathcal{M}_g} h(\mathcal{S}) \leq \frac{2}{\pi}$ が成り立つ。
• この上界は、双曲的平面のチーリング定数（1）より厳密に小さいため、普遍被覆と大規模な有限被覆との間で定量的なギャップを示している。
• この結果は、チーリング定数が 1 から離れているため、高 genus の双曲的曲面に対してチーリングの不等式を用いて最適なスペクトルギャップを示すことはできないことを示唆している。
• 証明は、強度が消えるポアソン–ボロノイタイルレーションに基づくランダム構成に依存しており、セルのランダムな半分色分けの期待境界長が、十分に小さい $\delta > 0$ に対して $\frac{2}{\pi}(1+\delta)|\mathcal{S}|$ 以下であることが示されている。
• 正の確率で、ランダム部分集合 $A_\lambda$ の面積は表面積の半分の $1 \pm \delta$ の範囲にあり、境界長は $\frac{1}{\pi}(1+\delta)^2|\mathcal{S}|$ 以下であることが保証され、これが最終的な上界に至る。
• 異なる半径間の複雑な相互作用を避けるために、内在的な双曲的測度に基づく一貫性のある幾何的推定と、大きなセルにおける集中を用いる方法を採用している。