[論文レビュー] On circumcenters of finite sets in Hilbert spaces

Heinz H. Bauschke, Hui Ouyang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 10被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間内の有限集合の外心について体系的な研究を提供する—アフィン包に属し、集合のすべての点から等距離にある唯一の点である。外心および外接半径の明示的公式を導出し、特に2次元および3次元においてその応用を示し、最良近似問題に対するDouglas–Rachford法の加速における役割を確立する。

ABSTRACT

A well-known object in classical Euclidean geometry is the circumcenter of a triangle, i.e., the point that is equidistant from all vertices. The purpose of this paper is to provide a systematic study of the circumcenter of sets containing finitely many points in Hilbert space. This is motivated by recent works of Behling, Bello Cruz, and Santos on accelerated versions of the Douglas--Rachford method. We present basic results and properties of the circumcenter. Several examples are provided to illustrate the tightness of various assumptions.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間内における有限集合の外心の厳密な理論的枠組みを確立すること。これは古典的なユークリッド幾何学の一般化を目的とする。
• 高次元および抽象的ヒルバート空間における外心の明示的特徴付けの欠如に対処すること。
• 幾何学的および代数的道具を活用して、2次元および3次元における外心および外接半径の明示的公式を提供すること。
• 外心が最良近似問題を解くためのDouglas–Rachford法の収束挙動に果たす役割を明確化すること。
• 集合の構成が変化する場合や位相的仮定のもとで、外心の存在、一意性、連続性を調査すること。

提案手法

• 有限集合のアフィン包内に存在し、すべての点から等距離である唯一の点として外心を定義する。
• アフィン幾何学および線形代数を用いて、ベクトルおよび内積を用いた外心の明示的表現を導出する。
• R^3における外積を用いて、ベクトル三重積を用いた外心および外接半径の閉形式の公式を導出する。
• ラグランジュの未定乗数法および直交射影を用いて、外心構成の背後にある最良近似問題を解く。
• 外心作用素を用いて、Douglas–Rachfordフレームワーク内での収束を加速する新しい反復法を定義する。
• 外心がヒルバート空間の直積空間におけるアフィン独立な点の組の開集合上で連続的かつ適切に定義されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間内の有限集合の外心が存在し、一意であるのはどのような条件下か？
• RQ2 2次元および3次元のヒルバート空間において、外心および外接半径の明示的公式をどのように導出できるか？
• RQ3 外心は最良近似問題におけるDouglas–Rachford法の収束挙動にどのように関係するか？
• RQ4 外心はR^3を越えて一般化可能か？その際の位相的および代数的障害は何か？
• RQ5 外心とアフィン包の幾何学および直交射影との関係は何か？

主な発見

• ヒルバート空間内における有限集合の外心が存在し、一意であるための必要十分条件は、点がアフィン独立であることである。
• R^2において、3点の外心は、対象の距離から導かれる2×2グラム行列の逆行列を含む閉形式の式で与えられる。
• R^3において、外心はベクトル三重積を用いて表される：$ CC(S) = x + \frac{(\|a\|^2 b - \|b\|^2 a) \times (a \times b)}{2\|a \times b\|^2} $、ここで $ a = x_2 - x_1 $、$ b = x_3 - x_1 $。
• R^3における外接半径 $ CR(S) $ は $ \frac{\|a - b\|}{2\sin\theta} $ で与えられ、ここで $ \theta $ はベクトル $ a $ と $ b $ のなす角であり、$ \|a \times b\| = \|a\|\|b\|\sin\theta $ である。
• 外心作用素は、$ \mathcal{H}^m $ 内のアフィン独立なm重組の開集合上で連続的であり、微小な摂動に対しても安定である。
• 外心法を用いることで、Douglas–Rachfordアルゴリズムの収束を加速でき、最良近似問題における収束速度が向上する。