[論文レビュー] On classical simulation algorithms for noisy Boson Sampling

Changhun Oh, Liang Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2023

Statistical Methods and Inference被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、最初の量子化表現によって可能になった、出力確率のスパースで低次の多項式近似を用いて、ノイズのあるボソンサンプリング実験の出力分布からの近似的なサンプリングを実行する古典的アルゴリズムを提示する。定数ノイズ率の下では準多項式時間計算量を証明し、ノイズが $1 - x_1^\gamma$ のスケーリングを示す場合（$ \gamma = \Omega(\log N)$）には多項式時間計算量を達成する。これは特定のノイズモデル下での古典的シミュレーションの理論的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We present a classical algorithm that approximately samples from the output distribution of certain noisy Boson Sampling experiments. This algorithm is inspired by a recent result of Aharonov, Gao, Landau, Liu and Vazirani and makes use of an observation originally due to Kalai and Kindler that the output probability of Boson Sampling experiments with a Gaussian noise model can be approximated by sparse low-degree polynomials. This observation alone does not suffice for classical sampling, because its marginal probabilities might not be approximated by sparse low-degree polynomials, and furthermore, the approximated probabilities might be negative. We solve this problem by employing the first quantization representation to give an algorithm for computing the marginal probabilities of these experiments. We prove that when the overall noise rate is constant, the algorithm runs in time quasi-polynomial in the number of input photons $N$ and accuracy. When the overall noise rate scales as $1-x_1^γ$ for constant $x_1$ and $γ=Ω(\log N)$, the running time becomes polynomial. Furthermore, we study noisy Boson Sampling with practically relevant noise models such as partial distinguishability and photon loss. We show that the same technique does not immediately apply in these settings, leaving open the possibility of a scalable demonstration of noisy quantum advantage for these noise models in certain parameter regimes.

研究の動機と目的

• 現実的なノイズモデル下で動作するノイズのあるボソンサンプリングの古典的シミュレーションアルゴリズムの開発を目的とする。
• ノイズのあるボソンサンプリングにおけるマージナル確率が、スパースで低次の多項式でうまく近似できないこと、および負の確率値をとるという課題に対処すること。
• 異なるノイズスケーリング領域下でのアルゴリズムの計算時間の上限を証明すること。
• ノイズの存在下でのスケーラブルな量子優位性の可能性を、このアルゴリズムが実用的ノイズモデルに拡張可能かどうかを分析することで評価すること。
• ガウスノイズを超えた、ノイズのある量子優位性実験の古典的シミュレーションの限界を探索すること。

提案手法

• カルアイとキンデラーの観察に着目し、ガウスノイズ下での出力確率がスパースで低次の多項式で近似可能であることを活用する。
• 負の確率問題を回避するため、最初の量子化表現を用いてマージナル確率を正確に計算する。
• 出力確率分布に対して多項式近似を適用し、ノイズパラメータ $\eta$ における高次項を切り捨てる。
• 計算複雑性を制御するため、多項式近似の次数にカットオフ $l$ を導入する。
• 多項式近似の項数と恒等行列の計算コストを分析することで、実行時間の上限を導出する。
• 光子損失や部分的区別不能性の影響により、より高い次数の多項式近似が必要となり、状態の直交性が失われるため、この手法が失敗することを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズ率が定数のとき、古典的アルゴリズムはノイズのあるボソンサンプリングを効率的にシミュレートできるか？
• RQ2 マージナル確率が関与する場合でも、出力確率に対する多項式近似手法は有効に機能するか？
• RQ3 異なるノイズスケーリング領域下での、提案されたアルゴリズムの計算複雑性は何か？
• RQ4 同様のアプローチを光子損失や部分的区別不能性といった実用的ノイズモデルに拡張できるか？
• RQ5 アルゴリズムの実行時間が多項式時間にまで短縮される領域は存在するか？これによりスケーラブルな古典的シミュレーションが可能になるか？

主な発見

• ノイズ率が定数のとき、アルゴリズムの実行時間は準多項式時間 $2^{\mathrm{poly}(\log N)}$ で実現される。
• ノイズ率が $1 - x_1^\gamma$ のスケーリングを示し、$ \gamma = \Omega(\log N)$ のとき、実行時間は $N$ に対して多項式時間にまで短縮される。
• 光子損失や部分的区別不能性への直接的な拡張は失敗する。これは、より高い次数の多項式近似が必要となるためである。
• 光子損失の場合は、必要な多項式次数が $\Omega(\eta N)$ に達し、回路ノイズに必要な $O(\log N)$ に比べてはるかに大きくなる。このため、このアプローチはその領域では非現実的である。
• 光子損失下では、高次項を切り捨てた際の近似誤差が小さく見積もられ、特に $\eta N$ が大きい場合には無視できない確率質量が捨て去られる。
• 光子損失に対してアルゴリズムが動作可能となる領域（$\eta N = O(\log N)$）は、もともと熱状態近似によって古典的にシミュレート可能であるため、この場合の手法は冗長である。