[論文レビュー] On Closed and Exact Grad-grad- and div-Div-Complexes, Corresponding Compact Embeddings for Tensor Rotations, and a Related Decomposition Result for Biharmonic Problems in 3D

Dirk Pauly, Walter Zulehner|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 22被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、非標準的なテンソルソボレフ空間におけるヘルムホルツ型分解を用いて、3次元バイハーモニック問題を3つの連続する2次微分方程式境界値問題に分解することを確立する。主な貢献は、有界な強いリプシッツ領域における $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ および $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$ コンプレックスの特徴付けであり、コンパクト埋込みを可能にし、一般のトポロジーを有する3次元バイハーモニック問題に対する新しい分解を可能にする。

ABSTRACT

It is shown that the first biharmonic boundary value problem on a topologically trivial domain in 3D is equivalent to three (consecutively to solve) second-order problems. This decomposition result is based on a Helmholtz-like decomposition of an involved non-standard Sobolev space of tensor fields and a proper characterization of the operator div-Div acting on this space. Similar results for biharmonic problems in 2D and their impact on the construction and analysis of finite element methods have been recently published by the second author. The discussion of the kernel of div-Div leads to (de Rham-like) closed and exact Hilbert complexes, the div-Div-complex and its adjoint the Grad-grad-complex, involving spaces of trace-free and symmetric tensor fields. For these tensor fields we show Helmholtz type decompositions and, most importantly, new compact embedding results. Almost all our results hold and are formulated for general bounded strong Lipschitz domains of arbitrary topology. There is no reasonable doubt that our results extend to strong Lipschitz domains in arbitrary dimensions.

研究の動機と目的

• 2次元でのバイハーモニック問題の分解結果を、任意のトポロジーを有する3次元に拡張すること。
• 対称でトレースフリーなテンソル場を含む $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ および $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$ コンプレックスの特徴付け。
• 対称テンソルのソボレフ空間におけるテンソル回転作用素のコンパクト埋込み定理を新たに確立すること。
• バイハーモニック問題に関連する対称テンソル場の空間に対するヘルムホルツ型分解を提供すること。
• 補助場 $p$, $v$, $u$ を用いた、バイハーモニック方程式の構成的かつブロック下三角型の解法戦略を確立すること。

提案手法

• 有界な強いリプシッツ領域 $\mathbb{R}^3$ 上で、対称でトレースフリーなテンソル場を含む $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$-複体およびその随伴 $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$-複体を導入する。
• 非標準的な対称テンソル場のソボレフ空間にヘルムホルツ型分解を適用し、正確かつ余正確な成分に空間を分離する。
• 対称テンソル場に $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ 演算子を適用し、$\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$-複体を用いてその核を特徴付ける。
• 関連する部分空間上で強収縮性およびインフラ・インファーム条件を示すことにより、テンソル回転作用素のコンパクト埋込みを確立する。
• 補助場 $p$, $E$, $v$, $u$ を用いて、バイハーモニック問題のブロック下三角型の鞍点系を導出し、変分解析により適切性を証明する。
• 直交分解、トレースフリー射影、および「mathring」作用素で表される自然境界条件を含む関数解析的道具を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元バイハーモニック問題は、2次元の場合と同様に、3つの連続する2次問題に分解可能か？
• RQ2 任意のトポロジーを有する一般の3次元領域における $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ および $\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$ コンプレックスの構造はいかなるものか？
• RQ3 対称テンソル場の文脈において、テンソル回転作用素のコンパクト埋込みはどのように確立できるか？
• RQ4 $\boldsymbol{\operatorname{sym}\!\operatorname{Rot}}$ 演算子はバイハーモニック問題の分解において果たす役割は何か？
• RQ5 補助場 $p$, $v$, $u$ は、元のバイハーモニック解 $u$ とどのように三角型偏微分方程式系によって関連づけられるか？

主な発見

• トポロジーが自明な3次元バイハーモニック境界値問題は、3つの連続する2次問題に等価である：$p$ に対するポアソン問題、$v$ に対する線形弾性のノイマン問題、$u$ に対するポアソン問題。
• $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ 演算子の核は、対称でトレースフリーなテンソル場を含む閉じたかつ正確なヒルベルト複体を介して特徴付けられる。
• 対称テンソル場の空間に対する新しいヘルムホルツ型分解が確立され、$\boldsymbol{\operatorname{grad}^2}$ および $\boldsymbol{\operatorname{div}^2}$ 演算子に関連する成分の分離が可能になる。
• テンソル回転作用素のコンパクト埋込みが証明され、有限要素法における収束解析に不可欠である。
• システムは、$\boldsymbol{\operatorname{sym}\!\operatorname{Rot}}$ 双線形型の強収縮性およびインフラ・インファーム条件により、適切性が保証されるブロック下三角型の鞍点構造を有する。
• 結果は $\mathbb{R}^3$ の一般の有界な強いリプシッツ領域に拡張可能であり、$\mathbb{R}^N$ への一般化が期待される。