[論文レビュー] On closed rational functions in several variables

А. П. Петравчук, Oleksandr Iena|ArXiv.org|Jan 21, 2007

Functional Equations Stability Results参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、特性が0の代数的に閉じた体上の複数変数の有理関数が閉じている（生成される部分体が有理関数体の中で代数的に閉じている）ための十分条件を確立する。有理関数 φ = f/g が閉じているのは、f と g が互いに素であり、代数的に独立しており、かつ少なくとも一方が既約であるときであり、同値に、pencil αf + βg に還元可能な超曲面が有限個であるときであることを示している。

ABSTRACT

Let k be an algebraically closed field of characteristic zero. An element F from k(x_1,...,x_n) is called a closed rational function if the subfield k(F) is algebraically closed in the field k(x_1,...,x_n). We prove that a rational function F=f/g is closed if f and g are algebraically independent and at least one of them is irreducible. We also show that the rational function F=f/g is closed if and only if the pencil af+bg contains only finitely many reducible hypersurfaces. Some sufficient conditions for a polynomial to be irreducible are given.

研究の動機と目的

• K(x₁,…,xₙ) に属する有理関数 φ が閉じている、すなわち K(φ) が K(x₁,…,xₙ) 内で代数的に閉じている条件を特徴づけること。
• f と g が互いに素であり、代数的に独立しており、かつ少なくとも一方が既約であるとき、有理関数 φ = f/g が閉じているための十分条件を提供すること。
• 有理関数 φ = f/g の閉じ性と、pencil αf + βg に含まれる還元可能な超曲面の有限性との同値性を確立すること。
• 特に、互いに代数的に独立な既約多項式のべきの積である多項式に定数を加えたもの f + λ の既約性に関する十分条件を導出すること。

提案手法

• dφ ∧ dψ の消滅を用いて、有理関数間の代数的従属関係を特徴づけるため、ヤコビ基準と微分形式を用いる。
• 有理関数体に関するゴードンの定理を適用し、tr.deg(K(φ,ψ)) = 1 ならば K(φ,ψ) = K(h) を満たすある有理関数 h が存在することを示す。
• オラニエのダーブルックス多項式に関する結果を用いて、φ = f/g の閉じ性と pencil αf + βg に含まれる還元可能な成員の有限性との関連を結びつける。
• 一意的因数分解をもつ多項式環における因数分解型を分析し、f = F(h) かつ deg F ≥ 2 ならば、f は h に関する一次式の積に分解され、既約性仮定と矛盾することを示す。
• 射影的パrameter (α:β) ∈ ℙ¹ の構造を用いて、有理関数が合成として表現可能である場合、特に異なる一次式を介して表現可能である場合を分析する。
• 多項式環における一意的因数分解を応用し、互いに素な既約多項式のべきの積が別の多項式のべきに等しい場合、外側の多項式の次数で各指数が割り切れる必要があることを示し、gcd(m₁,…,mₖ) = 1 ならば矛盾が生じることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理関数 φ = f/g ∈ K(x₁,…,xₙ) が閉じている（すなわち K(φ) が K(x₁,…,xₙ) 内で代数的に閉じている）ための条件は何か？
• RQ2 pencil αf + βg に還元可能な超曲面が有限個しか含まれないのはいつか？ そしてこれは φ = f/g の閉じ性とどのように関係しているか？
• RQ3 代数的に独立な既約多項式のべきの積に定数を加えたもの p₁^{m₁}⋯pₖ^{mₖ} + λ が、すべての λ ∈ K に対して既約であるのはいつか？ 有限個の例外を除いて？
• RQ4 有理関数 φ = f/g が deg F ≥ 2 を満たす非線形合成 F(ψ) で表せるか？ そして、このような表現を防ぐ条件は何か？

主な発見

• f と g が互いに素であり、代数的に独立しており、かつ f も g もいずれか一方が既約であるならば、有理関数 φ = f/g は閉じている。
• 有理関数 φ = f/g が閉じていることは、pencil αf + βg に還元可能な超曲面が有限個であることに同値である。
• pᵢ が代数的に独立な既約多項式であり、gcd(m₁,…,mₖ) = 1 であるならば、多項式 p₁^{m₁}⋯pₖ^{mₖ} + λ はすべての λ ∈ K に対して、有限個の例外を除き既約である。
• 有理関数 φ = f/g が閉じていないならば、ある F ∈ K(t) で deg F ≥ 2 を満たすものに対して φ = F(ψ) と書くことができ、このとき f と g は共通の有理関数 ψ に関する一次式の積に分解される。
• φ に対して非線形の生成関数 ψ が存在するならば、pencil αf + βg には無限個の還元可能な超曲面が含まれる。
• f と g がともに既約であり、代数的に独立であるならば、φ = f/g は閉じており、deg F ≥ 2 を満たす非自明な合成 F(ψ) によって φ を表現することはできない。