[論文レビュー] On cluster points of alternating projections

Heinz H. Bauschke, Dominikus Noll|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Optimization and Variational Analysis参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非凸で閉集合に対する交互投影法が、非退化なコンpakトな連続集合をその集積点の集合として持つような、ユークリッド平面上での明示的例を構成する。集合が非可算無限個の閉凸集合の和集合である場合には、このような振る舞いが可能であることが証明されるが、有限個の和集合である場合には不可能であることが示され、非凸適合性問題における集積点の性質について長年の疑問が解決される。

ABSTRACT

Suppose that $A$ and $B$ are closed subsets of a Euclidean space such that $A\cap B eq\varnothing$, and we aim to find a point in this intersection with the help of the sequences $(a_n)_ nn$ and $(b_n)_ nn$ generated by the \emph{method of alternating projections}. It is well known that if $A$ and $B$ are convex, then $(a_n)_ nn$ and $(b_n)_ nn$ converge to some point in $A\cap B$. The situation in the nonconvex case is much more delicate. In 1990, Combettes and Trussell presented a dichotomy result that guarantees either convergence to a point in the intersection or a nondegenerate compact continuum as the set of cluster points. In this note, we construct two sets in the Euclidean plane illustrating the continuum case. The sets $A$ and $B$ can be chosen as countably infinite unions of closed convex sets. In contrast, we also show that such behaviour is impossible for finite unions.

研究の動機と目的

• R²における閉で非凸な集合の明示的例を構成し、交互投影によって得られる列の集積点の集合が非退化なコンパクトな連続体となること。
• 集合が閉凸集合の可算無限個の和集合である場合に、そのような連続体的振る舞いが可能であることを示すこと。
• 集合が空でない閉凸集合の有限個の和集合である場合には、連続体的状態が生じえないことを証明すること。
• コンベアスでない設定における交互投影の収束行動の二分法的性質を明確にすること。これは、コンベアスとトラスエルが以前に示唆したものと一致する。

提案手法

• 角度αをパラメータとする、半径関数ρ(α) = 1 + exp(−α) を用いてR²におけるらせん曲線を定義する。
• らせん上の点の近接度を制御するため、距離閾値ε(α) = (ρ(α) − ρ(α + 2π))/2 を導入する。
• 連続する点がちょうどε(α_n)の間隔で離れているように、らせんに沿った点の列(x_n)を構成する。これにより収束行動が制御される。
• 集合AとBを、列からの交互の点と単位円Sの和集合として定義し、閉性と非凸構造を保証する。
• 射影の非拡大性とコンパクト性の議論を用いて、交互投影によって生成される列(a_n)と(b_n)がS上の点に収束することを示す。
• 鳩の巣原理と距離に基づく背理法を用いて、凸集合の有限和集合では非退化な連続体の集積点が得られないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸集合に対する交互投影が、非退化なコンパクトな連続体をその集積点の集合として持つような明示的例を構成できるか？
• RQ2 集合が閉凸集合の可算無限個の和集合である場合に、交互投影における連続体的状態が可能か？
• RQ3 集合が空でない閉凸集合の有限個の和集合である場合には、連続体的状態を除外できるか？
• RQ4 集合AとBの構造にどのような条件が、集積点が1点か連続体かを決定づけるか？

主な発見

• 本稿は、R²における2つの閉で非凸な集合AとBを構成し、それぞれが閉凸集合の可算無限個の和集合として表されるが、交互投影によって得られる列の集積点が非退化なコンパクトな連続体（単位円S）となることを示している。
• 構成された例において、列(a_n)と(b_n)は単位円Sに収束し、Sが正確に集積点の集合である。
• この構成により、集合が凸集合の可算無限個の和集合である非凸設定において、連続体的状態が実現可能であることが示された。
• 本稿は、AとBが空でない閉凸集合の有限個の和集合である場合には、交互投影の列がA ∩ B内の1点に収束しなければならないことを証明しており、連続体の集積点は排除される。
• 証明は、射影の非拡大性と、極限点がそれらを含まない集合からの正の距離に基づく背理法に依拠している。
• この結果により、コンベアスとトラスエルが提案した二分法的性質——収束先が1点か非退化な連続体か——が、可算和の設定では実現可能であるが、有限和では実現不可能であることが確認された。