[論文レビュー] On Coarse Spectral Geometry in Even Dimension

Robert Yuncken|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Roeの粗いスペクトル幾何学の偶数次元版を確立する。反射自己同型 $ \sigma $ を $ \mathbb{R} $ にとった対称的 Roe代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ を導入し、$ K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) \cong \mathbb{Z} $、$ K_1 = 0 $ を証明した。また、$ K $-理論上の誘導写像が、$ K $-ホモロジーと $ K $-理論の間のインデックスペアリングを回復することを示し、従来のバランスのとった構成よりも幾何的により自然な枠組みを提供する。

ABSTRACT

Let $σ$ be the involution of the Roe algebra $\Roe{\RR}$ which is induced from the reflection $\RR o\RR; x\mapsto -x$. A graded Fredholm module over a separable $C^*$-algebra $A$ gives rise to a homomorphism $ ildeρ:A o\Roe{\RR}^σ$ to the fixed-point subalgebra. We use this observation to give an even-dimensional analogue of a result of Roe. Namely, we show that the $K$-theory of this symmetric Roe algebra is $K_0(\Roe{\RR}^σ)\cong\ZZ$, $K_1(\Roe{\RR})=0$, and that the induced map $ ildeρ_*:K_0(A) o \ZZ$ on $K$-theory gives the index pairing of $K$-homology with $K$-theory.

研究の動機と目的

• 偶数次元における粗いスペクトル幾何学のための、計算が重い「バランスのとられた」手順を必要としない、より幾何的に自然な枠組みを提供すること。
• 反射自己同型 $ \sigma $ による固定点部分代数として、対称的 Roe代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ を定義すること。
• この対称的 Roe代数の $ K $-理論が $ K_0 \cong \mathbb{Z} $、$ K_1 = 0 $ であることを示すこと。これは $ \mathbb{Z} $ の次数 0 における $ K $-理論と一致する。
• 誘導写像 $ \tilde{\rho}_*: K_0(A) \to K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) \cong \mathbb{Z} $ が、$ K $-ホモロジーと $ K $-理論の間のインデックスペアリングを計算することを証明すること。

提案手法

• 反射 $ x \mapsto -x $ による Roe代数の固定点代数として、$ \sigma $-不変な $ C^* $-代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ を構成する。
• $ C^* $-代数 $ A $ 上のグレーディング付きフレドホルムモジュール $ (H, \rho, D) $ を用いて、$ \ast $-準同型 $ \tilde{\rho}: A \to C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ を誘導する。
• 既知の $ C^*|Y_+| $ の $ K $-理論を用いて、拡張 $ 0 \to \mathcal{K}(\mathcal{H})^\sigma \to C^*|\mathbb{R}|^\sigma \to C^*|Y_+|/\mathcal{K}(\mathcal{H}_+) \to 0 $ の $ K $-理論における六項完全列を適用する。
• 射影へのトレースの議論を用いて、境界写像 $ \partial: K_1(C^*|\mathbb{R}|^\sigma / \mathcal{K}(\mathcal{H})^\sigma) \to K_0(\mathcal{K}(\mathcal{H})^\sigma) $ の像が $ \{(n,n)\} \subset \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z} $ であることを示す。
• 六項完全列を適用して、$ K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) \cong \mathbb{Z} $、$ K_1(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) = 0 $ を導出する。
• 射影 $ \tilde{\rho}(p) $ を有限ランク射影に置き換えることで、偶数および奇数のスペクトル部分空間の次元の差を計算し、インデックスペアリング $ (\theta, [p]) $ が $ \tilde{\rho}_*([p]) $ に等しいことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数次元において、フレドホルムモジュールのバランスのとった手続きを避けることができる対称的 Roe代数を構成できるか？
• RQ2 反射自己同型の下での固定点部分代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ の $ K $-理論は何か？
• RQ3 誘導写像 $ \tilde{\rho}_*: K_0(A) \to K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) $ は、偶数次元の粗いスペクトル幾何学におけるインデックスペアリングを回復するか？
• RQ4 対称的 Roe代数は、偶数次元における Luu の $ KC^n $-図式による $ KK $-理論とどのように関係するか？

主な発見

• 対称的 Roe代数 $ C^*|\mathbb{R}|^\sigma $ の $ K $-理論は、$ K_0 \cong \mathbb{Z} $、$ K_1 = 0 $ であり、$ K $-理論における六項完全列によって計算された。
• 誘導写像 $ \tilde{\rho}_*: K_0(A) \to K_0(C^*|\mathbb{R}|^\sigma) \cong \mathbb{Z} $ は、グレーディング付きフレドホルムモジュールの $ K $-ホモロジー類と $ K_0(A) $ の $ K $-理論類との間のインデックスペアリングと一致する。
• インデックスペアリング $ (\theta, [p]) $ は、射影 $ \tilde{\rho}(p) $ の偶数および奇数のスペクトル部分空間の次元の差に等しく、これは $ \tilde{\rho}_*([p]) $ に等しい。
• この構成は、「バランスのとられた」フレドホルムモジュールを必要とせず、それによって無限大の直和が必要となり、スペクトル的関係が曇ってしまうのを回避する。
• 対称的 Roe代数は、従来のアプローチよりも偶数次元の粗いスペクトル幾何学において幾何的により自然な枠組みを提供する。
• この結果は、$ \sigma $--equivariant 準同型を用いて定義される $ KC^0_\sigma(A, \mathbb{C}) $ を通じた $ KK^0(A, \mathbb{C}) $ の再定式化の存在を支持する。