[論文レビュー] On codimension 1 del Pezzo foliations on varieties with mild singularities

Carolina Araujo, Stéphane Druel|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、klt特異点や正則性の条件の下で、弱い特異点をもつ多様体へのファノ foliation 理論を拡張し、特にコドメニズム 1 のデル・ペッツォ foliation（インデックスがランクから 1 減ったもの）に注目する。特異多様体上でのこの種の foliation は、有理写像による重み付き射影空間への写像、またはベクトル場 foliation の引き戻しとして分類可能であり、特異的状況への一般化を、消失定理とアティヤ類を用いて達成する。

ABSTRACT

In this paper we extend to the singular setting the theory of Fano foliations developed in our previous paper. A Q-Fano foliation on a complex projective variety X is a foliation F whose anti-canonical class is an ample Q-Cartier divisor. In the spirit of Kobayashi-Ochiai Theorem, we prove that under some conditions the index i of a Q-Fano foliation is bounded by the rank r of F, and classify the cases in which i=r. Next we consider Q-Fano foliations F for which i=r-1. These are called del Pezzo foliations. We classify codimension 1 del Pezzo foliations on mildly singular varieties.

研究の動機と目的

• klt 特異点などの弱い特異点をもつ複素射影多様体への、特にデル・ペッツォ foliation のファノ foliation 理論を拡張すること。
• 複素射影多様体上の $\mathbb{Q}$-Fano foliation に対して、小林・落合の定理を特異的状況に一般化すること。
• klt 多様体上でコドメニズム 2 で正則であるものについて、アンピール性とインデックスの制約の下で、コドメニズム 1 のデル・ペッツォ foliation を分類すること。
• セールの条件と局所コホモロジーを用いて、双対 foliation ファンクターのコホモロジー群の消失結果を確立すること。

提案手法

• $-K_{\mathscr{F}}$ が $\mathbb{Q}$-クリエール・ディバイザーとしてアンピールである $\mathbb{Q}$-Fano foliation の概念を用い、$H$ をクリエール・ディバイザーとして $-K_{\mathscr{F}} \sim_{\mathbb{Q}} i_{\mathscr{F}} H$ を満たす最大の有理数 $i_{\mathscr{F}}$ をインデックスとして定義する。
• X が klt で $\mathscr{F}$ がコドメニズム 2 で正則であるという仮定の下で、カワマタ＝ヴィエヒェグの消失定理を適用し、$h^1(X, \mathscr{O}_X(K_X) \otimes \mathscr{L}) = 0$（$\mathscr{L} = \det(\mathscr{F})$）を示す。
• セールの条件 $S_k$ に関する補題 6.4 を用い、$\operatorname{codim}(X \setminus U) \geq 3$ を満たす滑らかで開いた部分集合 $U \subset X$ に対して、$X$ 上と $U$ 上のコホモロジー群が等しいことを示し、$h^1(U, \mathscr{Q}^*_{|U}) = h^1(X, \mathscr{Q}^*)$ を得る。
• 商層 $\mathscr{Q} = T_X / \mathscr{F}$ のアティヤ類 $at(\mathscr{Q})$ を用いて可積分性を解析し、局所フレーム計算とリー括弧の閉包性により $\delta(at(\mathscr{Q})) = 0$ を示す。
• 局所コホモロジーのスペクトル系列を適用し、$\mathscr{G}$ が $S_k$ を満たし、$\operatorname{codim}(X \setminus U) \geq k$ であるとき、$H^i(X, \mathscr{G}) \simeq H^i(U, \mathscr{G}_{|U})$（$i \leq k-1$）が成り立つことを示し、コホモロジーの比較を可能にする。
• $\mathscr{O}_X(k(K_{\mathscr{F}} + c_1(\mathscr{L}))) \simeq \mathscr{O}_X$ である一方で $h^0(X, \Omega^q_X \otimes \mathscr{O}_X(-K_{\mathscr{F}} - c_1(\mathscr{L}))) \neq 0$ であることを示し、矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 klt 多様体 $X$ 上の $\mathbb{Q}$-Fano foliation $\mathscr{F}$ のインデックス $i_{\mathscr{F}}$ が $i_{\mathscr{F}} \leq r$ を満たす条件は何か、ここで $r$ は $\mathscr{F}$ のランクである。
• RQ2 $\mathbb{Q}$-Fano foliation に対して $i_{\mathscr{F}} = r$ が成り立つのはいつか、そしてそれに対応する $X$ 上の幾何的構造は何か。
• RQ3 klt 多様体でコドメニズム 2 で正則なものを仮定したとき、コドメニズム 1 のデル・ペッツォ foliation（$i_{\mathscr{F}} = r - 1$）の分類は何か。
• RQ4 消失定理とアティヤ類の技法が、特異的状況におけるアンチ canonical 線分束の存在をどのように制約するか。
• RQ5 小林・落合の定理は、特異多様体上の $\mathbb{Q}$-Fano foliation に一般化可能か。極値の場合の構造は何か。

主な発見

• 正則な射影多様体 $X$ 上の $\mathbb{Q}$-Fano foliation のインデックス $i_{\mathscr{F}}$ は $i_{\mathscr{F}} \leq r$ を満たし、等号が成り立つのは $(X, \mathscr{L}) \simeq (\mathbb{P}^n, \mathscr{O}_{\mathbb{P}^n}(1))$ かつ $\deg(\Delta) = n+1-i$ のとき、条件 $-(K_X + \Delta) \sim_{\mathbb{Q}} i c_1(\mathscr{L})$ の下で。
• $i_{\mathscr{F}} = r$ ならば、$X \simeq \mathbb{P}^n$ かつ $\deg(\Delta) = 1$ であるか、または $\Delta = 0$ で $X$ が $\mathbb{P}^{n+1}$ 内の二次曲面 $Q_n$ であり、$\mathscr{L} \simeq \mathscr{O}_{Q_n}(1)$ である。
• klt 多様体でコドメニズム 2 で正則な場合のコドメニズム 1 のデル・ペッツォ foliation に対して、反 canonical 線分束 $-K_{\mathscr{F}}$ はアンピールにはなりえない。これは、コホモロジーの消失とアティヤ類の解析による矛盾によって示される。
• X が klt で $\mathscr{F}$ がコドメニズム 2 で正則であるという仮定の下で、カワマタ＝ヴィエヒェグの消失定理により $h^1(X, \mathscr{O}_X(K_X) \otimes \mathscr{L}) = 0$ が確立される。
• 商層 $\mathscr{Q} = T_X / \mathscr{F}$ のアティヤ類 $at(\mathscr{Q})$ は滑らか部分 $U$ 上で消えるため、$\delta(at(\mathscr{Q})) = 0$ であり、これにより $K_X + c_1(\mathscr{L}) \equiv 0$ が導かれる。
• 矛盾は $\mathscr{O}_X(k(K_{\mathscr{F}} + c_1(\mathscr{L}))) \simeq \mathscr{O}_X$ である一方で $h^0(X, \Omega^q_X \otimes \mathscr{O}_X(-K_{\mathscr{F}} - c_1(\mathscr{L}))) \neq 0$ であることを示すことから生じ、これは補題 2.10 を反する。