[論文レビュー] On commuting Tonelli Hamiltonians: Time-periodic case

Xiaojun Cui|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2つの可換な時刻周期的Tonelliハミルトニアンが、同一のAubry集合、Mañé集合、およびバリア関数を共有することを確立している。エネルギー積分が存在しないにもかかわらず、著者らは弱KAM理論と時刻に依存するLegendre変換を用いて、弱最小化子、臨界サブソリューション、作用関数の動的構造が可換性のもとで保存されることを証明している。

ABSTRACT

We show that the Aubry sets, the Mañé sets and Mather's barrier functions are the same for two commuting time-periodic Tonelli Hamiltonians.

研究の動機と目的

• エネルギー積分が存在せず、Lax-Oleinik半群が収束しない時刻周期的状況において、可換な自己同型Tonelliハミルトニアンの理論を時刻周期的状況に拡張すること。
• 時間に依存しないエネルギー保存則の欠如が、Aubry集合やMañé集合といった不変集合の構造に与える影響を調査すること。
• 時刻周期的状況において、可換条件 $[H_1, H_2] = 0$ の下で、主要な動的対象（Aubry集合、Mañé集合、バリア関数）の不変性を確立すること。
• 時間依存性のため、個々の動的構造から直接的に得られない、和ハミルトニアン $H_1 + H_2$ の動的構造に与える影響を調査すること。
• 2つの可換な時刻周期的ハミルトニアン・ジャコビ方程式に対して、共通の $C^{1,1}$ 臨界サブソリューションが存在するという予想を提示すること。

提案手法

• 閉リーマン多様体上の時刻周期的Tonelliハミルトニアンの動的構造を分析するために、弱KAM理論とMather理論を用いる。
• 可換条件を括弧 $[H_1, H_2] = \{H_1, H_2\} + \partial_t H_1 - \partial_t H_2 = 0$ で定義し、時間に依存する系へのポincare括弧の一般化を行う。
• ラグランジュ力学とハミルトン力学を結ぶLegendre変換 $\mathcal{L}_H$ を適用し、接バンドルと余接バンドル間で弱最小化子と不変測度を写像する。
• 作用関数 $h_H^{T}$ 及びその極限 $h_H$ を導入し、バリア関数 $\rho_H$ を $\rho_H(q_1,[t_1], q_2,[t_2]) = h_H((q_1,[t_1]),(q_2,[t_2])) + h_H((q_2,[t_2]),(q_1,[t_1]))$ で定義する。
• 漸近的挙動が一致するサブソリューションのペアに関する下界をとることで、サブソリューション空間 $\mathcal{S}^+_H$ と $\mathcal{S}^-_H$ を用いてバリア関数を定義する。
• MassartおよびBernardの $C^1$ および $C^{1,1}$ 臨界サブソリューションに関する結果に依拠し、弱KAM定理の時刻周期的版を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの可換な時刻周期的Tonelliハミルトニアンは、同一のAubry集合およびMañé集合を共有するか？
• RQ2 エネルギー積分の欠如が、Lax-Oleinik半群の収束性および不変測度の構造に与える影響は何か？
• RQ3 2つの可換な時刻周期的ハミルトニアンのバリア関数および作用関数が同一であることを示せるか？
• RQ4 2つの可換な時刻周期的ハミルトニアン・ジャコビ方程式に対して、共通の $C^{1,1}$ 臨界サブソリューションが存在するか？
• RQ5 可換条件 $[H_1, H_2] = 0$ の下で、和ハミルトニアン $H_1 + H_2$ の動的構造は、$H_1$ および $H_2$ のそれらとどのように関係するか？

主な発見

• 2つの可換な時刻周期的Tonelliハミルトニアンに対して、Aubry集合 $\stackrel{{\scriptstyle\ast}}{{A}}_{H_1}$ と $\stackrel{{\scriptstyle\ast}}{{A}}_{H_2}$ は一致する。
• 可換条件 $[H_1, H_2] = 0$ の下で、Mañé集合 $\stackrel{{\scriptstyle\ast}}{{N}}_{H_1}$ と $\stackrel{{\scriptstyle\ast}}{{N}}_{H_2}$ は同一である。
• バリア関数 $b_{H_1}$ と $b_{H_2}$ は等しく、作用関数 $\rho_{H_1}$ と $\rho_{H_2}$ も等しいため、射影された位相空間上に等長構造が存在する。
• 弱最小化子の集合 $\dot{W}_{H_1}$ と $\dot{W}_{H_2}$ およびそれらのLegendre変換による像は、それぞれ $TM \times \mathbb{T}$ および $T^*M \times \mathbb{T}$ 上で同一である。
• 射影されたAubry集合およびMañé集合 $A_{H_1} = A_{H_2}$ および $N_{H_1} = N_{H_2}$ は、$M \times \mathbb{T}$ 上で等しい。
• 本稿では、2つの可換な時刻周期的Tonelliハミルトニアンが、それぞれのハミルトニアン・ジャコビ方程式に対して少なくとも1つの共通の $C^{1,1}$ 臨界サブソリューションを有することを予想している。