[論文レビュー] On compactness in the Trudinger-Moser inequality

Adimurthi, Kyril Tintarev|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ℝ² 内の有界領域における Trudinger-Moser 功能の弱連続性の欠如が、集中する Moser 関数の平行移動に漸近的に類似する列であることに正確に特徴づけられることを確立している——具体的には、$ s_k \to 0 $ のもとで $ u_k = g_{s_k}[(2\pi)^{-1/2} \min\{1, \log(1/|x|)\}] $ の形の列が、Sobolev 範数で消える余因子および平行移動を除いて、そのように表現可能である。この結果は、2次元設定に特化した新規のプロファイル分解を用いて得られており、スケーリング作用素の下での径数的集中プロファイルとして、弱連続性の欠落の正確な形が特定されている。

ABSTRACT

The paper studies continutity of Moser nonlinearity in two dimensions with respect to weak convergence. Unlike the critical nonlinearity in the Sobolev inequality, which lacks weak continuity at any point, Moser functional fails to be weakly continuous only in an exceptional case of a concentrating sequence of functions from the Moser family (up to translations and the remainder vanishing in Sobolev norm). The argument is based on a structural description of the defect of weak converegence, analogous to the profile decomposition established by Solimini for Sobolev inequalities, but involving gauge operators specific for the two-dimensional case.

研究の動機と目的

• 臨界的2次元 Trudinger-Moser 不等式における Moser 功能の弱連続性の欠如が生じる正確な列の集合を同定すること。
• 高次元におけるSobolev埋め込みの非線形汎関数の弱連続性の理解を、2次元の端点ケースにまで拡張すること。
• $ H_0^1(\Omega) $ における Trudinger-Moser 功能のプロファイル分解を確立すること。Solimini の手法に類似しているが、2次元設定に適合させたものである。
• 弱連続性を欠く列は、点に集中する Moser 関数に漸近的に類似している必要があり、平行移動および $ H_0^1 $-ノルムで消える余因子を除いてそうであることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、Solimini の手法にインspされつつも、2次元ケースに特化した特定のスケーリング作用素族 $ g_s $ を用いたプロファイル分解技術を用いている。ここで $ g_s w(r) = s^{-1/2} w(r^s) $ と定義される。
• この分解は、$ \mathcal{B} = \{ u \in H_0^1(\Omega) : \|\nabla u\|_2 \leq 1 \} $ 内で $ u_k \rightharpoonup u $ かつ $ \liminf J(u_k) > J(u) $ を満たす列 $ u_k $ の分析を通じて、集中プロファイルを分離する。
• 鍵となるステップは、このような列が、平行移動を除いて $ H_0^1 $-ノルムで $ u_k = g_{s_k}[(2\pi)^{-1/2} \min\{1, \log(1/|x|)\}] + o(1) $ を満たす必要があることの証明である。ここで $ s_k \to 0 $ である。
• 証明は、点での成長を制御し、径数的挙動と集中を結びつける、径数的推定式 $ \sup_r |u(r)| \log(1/r)^{-1/2} \leq \pi^{-1/2} \|\nabla u\|_2 $ に依存している。
• 2次元では、非径数的集中列は、$ g_s $-スケーリングの下で漸近的に径数的になるまで、$ \exp L^2 $-ノルムを保存しないことを利用している。
• $ J(u) = \int_\Omega (e^{4\pi u^2} - 1) \, dx $ という汎関数は、$ m_t(r) = (2\pi)^{-1/2} \min\{1, \log(1/r)\} $ という Moser 関数との比較を通じて分析され、そのスケーリング版 $ g_s m_t $ が臨界的集中プロファイルを生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの列が $ H_0^1(\Omega) $ 内で Trudinger-Moser 功能の弱連続性を欠くか、その特徴は何か？
• RQ2 2次元における Trudinger-Moser 不等式の弱連続性の欠落は、集中プロファイルの観点から正確に記述可能か？
• RQ3 非径数的列が $ \exp L^2 $-ノルムで集中しないのはなぜか？ ただし、$ g_s $-スケーリングの下で漸近的に径数的になる場合に限る。
• RQ4 2次元における Moser 功能のプロファイル分解は、高次元におけるそれとどのように異なるか？
• RQ5 集中挙動は、1パラメータ族のスケーリング作用素 $ g_s $ によってどれほど正確に捉えられるか？

主な発見

• 汎関数 $ J(u) = \int_\Omega (e^{4\pi u^2} - 1) \, dx $ は、$ \mathcal{B} $ 上で弱連続性を欠くが、その現れ方は、平行移動および $ H_0^1 $-ノルムで消える余因子を除いて、$ s_k \to 0 $ のもとで $ u_k = g_{s_k}[(2\pi)^{-1/2} \min\{1, \log(1/|x|)\}] $ の形の列に限られる。
• このような列は漸近的に径数的であり、点に集中する。集中プロファイルは、古典的 Moser 関数のスケーリング版である。
• 弱連続性の欠如は、このクラスによって完全に特徴づけられている：他のいかなる列も同様の欠落を示さない。
• 証明で用いられたプロファイル分解は、2次元設定に特化したものであり、$ H_0^1 $-ノルムを保ち、Moser 関数を他のMoser関数に写像するスケーリング作用素 $ g_s $ を用いている。
• 径数的推定式 $ \sup_r |u(r)| \log(1/r)^{-1/2} \leq \pi^{-1/2} \|\nabla u\|_2 $ は、点での成長を制御し、径数的性質と集中を結びつける上で中心的な役割を果たす。
• 高次元とは対照的に、2次元では任意のプロファイルが集中できるわけではない。弱連続性の欠如を引き起こすのは、$ g_s $-スケーリングの下でMoser関数に漸近的に類似する列に限られる。