[論文レビュー] On comparing Zagreb indices

Aleksandar Ilić, Dragan Stevanović|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2011

Graph theory and applications被引用数 66

ひとこと要約

本稿では、すべての単純連結グラフに対して M1/n ≤ M2/m が成り立つという予想を検証し、正則グラフおよび分割グラフでは成り立つことを証明しているが、2個以上のサイクルを含む連結グラフでは成り立たないことを示している。著者らは、M1/n および M2/m に対して鋭い共通の下界および上界を確立し、等号が成立するのは正則グラフの場合に限ることを示している。また、任意のサイクル数を持つ明示的な反例を構成し、この予想がサイクル数や最大次数が有界であるなどの構造的制約を要することを証明している。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a simple graph with $n = |V|$ vertices and $m = |E|$ edges. The first and second Zagreb indices are among the oldest and the most famous topological indices, defined as $M_1 = \sum_{i \in V} d_i^2$ and $M_2 = \sum_{(i, j) \in E} d_i d_j$, where $d_i$ denote the degree of vertex $i$. Recently proposed conjecture $M_1 / n \leqslant M_2 / m$ has been proven to hold for trees, unicyclic graphs and chemical graphs, while counterexamples were found for both connected and disconnected graphs. Our goal is twofold, both in favor of a conjecture and against it. Firstly, we show that the expressions $M_1/n$ and $M_2/m$ have the same lower and upper bounds, which attain equality for and only for regular graphs. We also establish sharp lower bound for variable first and second Zagreb indices. Secondly, we show that for any fixed number $k\geqslant 2$, there exists a connected graph with $k$ cycles for which $M_1/n>M_2/m$ holds, effectively showing that the conjecture cannot hold unless there exists some kind of limitation on the number of cycles or the maximum vertex degree in a graph. In particular, we show that the conjecture holds for subdivision graphs.

研究の動機と目的

• 一般の単純グラフに対する M1/n ≤ M2/m の予想を解決すること。
• 予想が成り立つか成り立たないかを左右する構造的条件を同定すること。
• M1/n および M2/m の鋭い下界および上界を確立し、等号が正則グラフの場合にのみ成立することを示すこと。
• 変数型Zagreb指標の振る舞いを調査し、その境界を導出すること。
• 任意のサイクル数を持つ反例を構成し、予想が制約なしでは普遍的に成り立たないことを示すこと。

提案手法

• コーシー・シュバルツの不等式を適用して、等号が成立するのは G が正則である場合に限るという鋭い下界 M1 ≥ 4m²/n を導出する。
• 相加平均・相乗平均の不等式および対数関数におけるジェンセンの不等式を用いて、M2 ≥ 4m³/n² を証明し、等号が成立するのは G が正則である場合に限ることを示す。
• 最大次数 Δ および最小次数 δ を用いて、M1/n および M2/m の上界を導出し、等号が成立するのは G が正則である場合に限ることを示す。
• a 個のスターモデルと b 個の三角形を直線的に接続して構成されるグラフ族 C(a,b) を用いて、b 個のサイクルを持つ反例を生成する。
• M2·n − M1·m ≥ 0 に対する a に関する二次不等式を分析し、予想がいつ失敗するかを特定する。
• 分割グラフ S(G) に対して M1(S(G))/(n+m) ≤ M2(S(G))/(2m) を示し、等号が成立するのは G が正則である場合に限ることを証明することで、予想が分割グラフにおいて成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての連結単純グラフに対して不等式 M1/n ≤ M2/m が成り立つか？
• RQ2 M1/n および M2/m の鋭い下界および上界は何か？ そして、いつ等号が成立するか？
• RQ3 任意のサイクル数を持つ予想の反例を構成できるか？
• RQ4 どのようなグラフ構造において M1/n ≤ M2/m が成り立つか？
• RQ5 任意のグラフの分割グラフにおいて予想は成り立つか？

主な発見

• M1/n および M2/m は、同じ鋭い下界 4m²/n² を共有しており、これはグラフが正則である場合にのみ達成される。
• M1/n および M2/m は、同じ鋭い上界 ΔM1/(2m) を共有しており、これはグラフが正則である場合にのみ達成される。
• 任意の固定された b ≥ 2 に対して、M1/n > M2/m を満たす b 個のサイクルを持つ連結グラフが存在する。これは、構造的制約なしでは予想が成り立たないことを反証する。
• 分割グラフにおいて予想 M1/n ≤ M2/m は成り立ち、等号が成立するのは元のグラフが正則である場合に限る。
• 19 頂点および 58 条辺を有する反例 C(12,2) は、2 個のサイクルを持つ既知の最小の連結反例である。
• 変数型Zagreb指標 λM1 および λM2 は、λM1 ≥ n(2m/n)²λ および λM2 ≥ m(2m/n)²λ を満たし、等号が成立するのはグラフが正則である場合に限る。