[論文レビュー] On complementary channels and the additivity problem

A. S. Holevo|ArXiv.org|Sep 14, 2005

Quantum Information and Cryptography参考文献 11被引用数 40

ひとこと要約

本稿では、量子チャネルとその補完チャネルの出力純度特性—例えばpノルム、最小出力エントロピー、凸化エントロピー—が同一であることを確立している。この双対性により、チャネルに対して加法性または乗法性の予想が成り立つならば、その補完チャネルに対しても同様に成り立つことが示され、これにより、対角型および共変チャネルを含む、加法性が成り立つチャネルのクラスが大幅に拡張される。

ABSTRACT

We explore complementarity between output and environment of a quantum channel (or, more generally, CP map), making an observation that the output purity characteristics for complementary CP maps coincide. Hence, validity of the mutiplicativity/additivity conjecture for a class of CP maps implies its validity for complementary maps. The class of CP maps complementary to entanglement-breaking ones is described and is shown to contain diagonal CP maps as a proper subclass, resulting in new class of CP maps (channels) for which the multiplicativity/additivity holds. Covariant and Gaussian channels are discussed briefly in this context.

研究の動機と目的

• 出力純度測度の観点から、量子チャネルとその補完チャネルの間の双対性を調査すること。
• チャネルに対して加法性または乗法性の予想が成り立つならば、その補完チャネルに対しても同様に成り立つかどうかを特定すること。
• 特に、エンタングルメントブレイキング写像の補完であるチャネル—の新しいクラスを同定し、加法性が成り立つことを示すこと。
• この双対性が共変およびガウス型チャネルに与える影響を調査すること。
• Stinespring拡張と等長同値を用いて、補完チャネルの一意性と構造を明確にすること。

提案手法

• 任意のCP写像を環境と結合されたチャネルとして表すためにStinespring拡張定理を用い、部分トレースにより補完写像を定義する。
• 主要な出力純度測度を定義する：νₚ(Φ) = max‖Φ(ρ)‖ₚ、Ĥ(Φ) を最小出力エントロピー、Ĥ̂(Φ) を凸化エントロピーとする。
• 任意のチャネルΦとその補完Φ̃に対して、νₚ(Φ) = νₚ(Φ̃)、Ĥ(Φ) = Ĥ(Φ̃)、Ĥ̂(Φ) = Ĥ̂(Φ̃) を証明する。
• この双対性を適用し、Φ₁ ⊗ Φ₂ に対して加法性または乗法性が成り立つならば、Φ̃₁ ⊗ Φ̃₂に対しても同様に成り立つことを示す。
• エンタングルメントブレイキング写像の補完となるCP写像のクラスを特徴づけ、それが対角写像のクラスを厳密に含むことを示す。
• 共変およびガウス型チャネルをこの文脈で分析し、それらの補完がそれぞれ共変またはガウス型であることを指摘する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャネルの出力純度測度の加法性または乗法性が成り立つならば、その補完チャネルに対しても同様に成り立つか？
• RQ2 エンタングルメントブレイキング写像の補完となるCP写像の集合の構造は何か？
• RQ3 チャネルとその補完の間の双対性を用いて、既知の加法性結果を新たなチャネルクラスへ拡張できるか？
• RQ4 pノルムおよびエントロピー測度の観点から、チャネルとその補完の出力純度特性はどのように関係するか？
• RQ5 この双対性が共変およびガウス型量子チャネルに与える影響は何か？

主な発見

• 出力純度測度νₚ、Ĥ、Ĥ̂は、チャネルとその補完チャネルに対して同一であり、すなわちνₚ(Φ) = νₚ(Φ̃)、Ĥ(Φ) = Ĥ(Φ̃)、Ĥ̂(Φ) = Ĥ̂(Φ̃)が成り立つ。
• νₚまたはエントロピー測度の乗法性または加法性が2つのチャネルのペアに対して成り立つならば、それらの補完ペアに対しても同様に成り立つ。
• エンタングルメントブレイキング写像の補完となるCP写像のクラスは、対角CP写像のクラスを厳密に含む。
• チャネルのχ容量および最小出力エントロピーの加法性が成り立つならば、その補完に対しても同様に成り立つ。
• 共変およびガウス型チャネルは、それぞれ補完写像が共変またはガウス型である。
• 双対性により、チャネルクラスに対して加法性を証明すれば、その補完クラスに対しても加法性が保証されるため、既知の結果の適用範囲が著しく拡張される。