[論文レビュー] On completely regular and strongly regular ordered $\Gamma$-semigroups

Niovi Kehayopulu|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2013

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、順序付き半群からの概念を拡張することで、完全正則および強く正則な順序付きΓ-半群の特徴づけを確立する。強く正則なpo-Γ-半群を導入し、完全正則性が双イデアルが半素であることと同値であることを証明し、強く正則性が左正則性、右正則性、および両側正則性を含むことを示し、部分半群（MΓaΓM）の構造と強く正則性を結ぶ重要な同値性を提示する。

ABSTRACT

Our aim is to show the way we pass from the results of ordered semigroups (or semigroups) to ordered $\\Gamma$-semigroups (or $\\Gamma$-semigroups). The results of this note have been transferred from ordered semigroups. The concept of strongly regular $po$-$\\Gamma$-semigroups has been first introduced here and a characterization of strongly regular $po$-$\\Gamma$-semigroups is given.

研究の動機と目的

• 順序付き半群からの結果を順序付きΓ-半群へと拡張するため、定義および性質を適応させる。
• 本研究で新たに導入された、強正則なpo-Γ-半群という新しいクラスを定義し、その性質を調査する。
• 双イデアルおよび部分半群構造を用いて、po-Γ-半群における完全正則性および強く正則性の同値な特徴づけを確立する。
• po-Γ-半群において強く正則性が左正則性、右正則性、および両側正則性を含むことを示す。
• 完全正則性がすべての双イデアルが半素であることと同値であること、および生成された双イデアルの等式に関連付けること。

提案手法

• po-Γ-半群における双イデアルの定義を適応する：部分集合Bが双イデアルであるとは、BΓMΓB ⊆ B かつ順序に関して閉じている（b ≤ a かつ b ∈ M ならば b ∈ B）こと。
• 生成された双イデアルの概念を用いる：Aの部分集合に対してB(A) = (A ∪ AΓAΓA] と定義され、特にB(a) = (a ∪ aΓaΓa] となる。
• 重要な条件を適用する：po-Γ-半群Mが完全正則であるとは、すべてのa ∈ Mに対して、x ∈ Mおよびγ,μ,ρ,ξ ∈ Γが存在して、a ≤ (aγa)μxρ(aξa) が成り立つこと。
• 完全正則性と双イデアルが半素であることの同値性を確立する：aΓa ⊆ B ならば a ∈ B が成り立つこと。
• 完全正則性が、すべてのa ∈ Mに対してB(a) = B(aΓa) = B(aΓaΓMΓaΓa) が成り立つことと同値であることの証明。
• 強正則性を次のように定義し、その含意を証明する：あるx ∈ Mおよびγ,μ ∈ Γが存在して、a ≤ aγxμa かつ aγx = xγa = xμa = aμx が成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 po-Γ-半群への強く正則性の適切な一般化は何か、そして正則性とどのように関係するか？
• RQ2 po-Γ-半群における双イデアルの概念を用いて、完全正則性を特徴づけるにはどうすればよいか？
• RQ3 完全正則なpo-Γ-半群において、生成された双イデアルB(a)、B(aΓa)、B(aΓaΓMΓaΓa)の関係は何か？
• RQ4 po-Γ-半群が強く正則であるための条件は何か、そして部分半群（MΓaΓM）の正則性とどのように関係するか？
• RQ5 すべての双イデアルBに対してB = (BΓB]が成り立つことは、po-Γ-半群における正則性を保証するのに十分か？

主な発見

• po-Γ-半群Mは、すべてのa ∈ Mに対して、x ∈ Mおよびγ,μ,ρ,ξ ∈ Γが存在してa ≤ (aγa)μxρ(aξa) が成り立つとき、かつそのときに限り完全正則である。
• po-Γ-半群における完全正則性は、すべての双イデアルが半素であることと同値である：aΓa ⊆ B ならば a ∈ B が成り立つ。
• 完全正則なpo-Γ-半群において、すべてのa ∈ Mに対して生成された双イデアルはB(a) = B(aΓa) = B(aΓaΓMΓaΓa) を満たす。
• 完全正則なpo-Γ-半群において、すべての双イデアルBはB = (BΓB] を満たし、逆にすべての双イデアルに対してB = (BΓB] が成り立つならば、Mは正則である。
• po-Γ-半群Mは、すべてのa ∈ Mに対して、MΓaΓM] が強く正則であり、かつ左正則、右正則であるとき、かつそのときに限り強く正則である。
• 強正則性は、すべてのa ∈ Mに対して、x ∈ Mおよびγ,μ ∈ Γが存在して、a ≤ aγxμa かつ aγx = xγa = xμa = aμx が成り立つことを含意する。