[論文レビュー] On completeness in a non-Archimedean setting via firm reflections

Didier Deses, E. Lowen‐Colebunders|ArXiv.org|Feb 17, 2004

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固い反射を用いてハウスドルフでないアルキメデス的空間の圏的完備化理論を展開し、同値関係における包含順序を保つ小さな集合の族によって完全対象を特徴づける。完全対象の全部分構成は、固い$υ$-反射的部分カテゴリをなしており、非アーベルの非アーベル一様空間の古典的完備化を一般化する。

ABSTRACT

We develop a completion theory for (general) non-Archimedean spaces based on the theory on "a categorical concept of completion of objects" as introduced by G.C.L. Brümmer and E. Giuli. Our context is the construct $\mathbf{NA}_0$ of all Hausdorff non-Archimedean spaces and uniformly continuous maps and $\mathcal{V}$ is the class of all epimorphic embeddings in $\mathbf{NA}_0$. We determine the class ${\bf Inj} \mathcal{V}$ of all $\mathcal{V}$-injective objects and we present an internal characterization as "complete objects". The basic tool for this characterization is a notion of small collections that in some sense preserve the inclusion order on the non-Archimedean structure. We prove that the full subconstruct $\mathbf{CNA}_0$ consisting of all complete objects forms a firmly $\mathcal{V}$-reflective subcategory. This means that every object $X$ in $\mathbf{NA}_0$ has a completion which is a $\mathcal{V}$-reflection $r_X:X o RX$ into the full subconstruct $\mathbf{CNA}_0$ of "complete spaces". Moreover this completion is unique (up to isomorphism) in the sense that, considering $L(\mathbf{CNA}_0)$, the class of all those morphisms $u: X o Y$ for which $Ru:RX o RY$ is an isomorphism, one has that $\mathcal{V}$ is contained in $L(\mathbf{CNA}_0)$. In fact one even has $\mathcal{V}=L(\mathbf{CNA}_0)$. Finally we apply our constructions to the classical case of Hausdorff non-Archimedean uniform spaces, in that case our completion reduces to the standard one.

研究の動機と目的

• 一般の非アーベル空間の完備化理論を圏論的手法を用いて体系的に構築すること。
• 包含順序を保つ小さな集合の族を用いて、ハウスドルフでないアーベル空間の構成$βΝ_0$における完全対象を特徴づけること。
• $βΝ_0$における完全対象の全部分構成が、$βΝ_0$において固い$υ$-反射的であることを確立し、同型を除いて一意な完備化を保証すること。
• 提案された完備化が、ハウスドルフでないアーベル一様空間の古典的ケースにおいて標準的完備化に還元されることを示すこと。

提案手法

• ブルーマーとギウリが導入した固い$υ$-反射の圈权限枠組みを用いて完備化を定義する。
• $βΝ_0$（ハウスドルフでないアーベル空間の構成）におけるエピモルフィック埋め込みの族を$υ$と特定する。
• 任意に小さな集合を含む集合族としての「小さな集合の族」を導入し、完備性を特徴づけるための道具とする。
• 同値関係の分割上の順序を保つ選択関数を用いて、$υ$-内因的対象を「完全対象」と特徴づける。
• 完全空間の部分カテゴリへの$υ$-反射として、完備化$r_X: X \to RX$を構成する。
• 一様連続写像$X$から完全空間$Y$への拡張を、順序を保つ選択関数の極限として明示的に記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、圏論的手法を用いて一般の非アーベル空間の完備化理論を体系的に展開できるか？
• RQ2 ハウスドルフでないアーベル空間の圏における完全対象のクラスはどのように特徴づけられるか？
• RQ3 固い反射による完備化が、ハウスドルフでないアーベル一様空間の古典的ケースにおいて、標準的完備化に還元される条件は何か？
• RQ4 非アーベル一様空間における最小カウチフィルターと、分割上の順序を保つ選択関数との関係は何か？

主な発見

• $βΝ_0$における$υ$-内因的対象のクラスは、同値関係における包含順序を保つ小さな集合の族によって特徴づけられる完全対象のクラスと一致する。
• $βΝ_0$における完全対象の全部分構成$βΓΝ_0$は、$βΝ_0$において固い$υ$-反射的部分カテゴリをなし、同型を除いて一意な完備化を保証する。
• 完備化$r_X: X \to RX$は普遍的であり、$\mathcal{V} = L(\mathbf{CNA}_0)$を満たす。これは、完備化上で同型を誘導する射はちょうどエピモルフィック埋め込みであることを意味する。
• 古典的ハウスドルフでないアーベル一様空間において、提案された完備化は正確に標準的完備化に還元される。これは、順序を保つ選択関数と最小カウチフィルターとの一対一対応により示される。
• 一様連続写像$u: X \to Y$の完備化$\hat{X} \to Y$への拡張は、明示的に$\hat{u}(f) = \lim f_u$として構成され、ここで$f_u$は$Y$の分割上の誘導された選択関数である。