[論文レビュー] On completion of the cone of CP linear maps with respect to the energy-constrained diamond norm

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Quantum Information and Cryptography参考文献 21被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の演算子 $G$ がエネルギー観測量を表すものとして、エネルギー制約付きダイヤモンドノルム（ECDノルム）によって誘導される完全正値（CP）線形写像の錐の完備性を確立する。写像の完備化が、$\sqrt{G}$-無限小作用素を用いたスティンスプリング型表現を許容する部分錐と一致することを証明し、Kretschmann-Schlingemann-Wernerの定理をこの設定に一般化する。

ABSTRACT

For a given positive operator $G$ we consider the cones of linear maps between Banach spaces of trace class operators characterized by the Stinespring-like representation with $\sqrt{G}$-bounded and $\sqrt{G}$-infinitesimal operators correspondingly. We prove the completeness of both cones w.r.t. the energy-constrained diamond norm induced by $G$ (as an energy observable) and the coincidence of the second cone with the completion of the cone of CP linear maps w.r.t. this norm. We show that the sets of quantum channels and quantum operations are complete w.r.t. the energy-constrained diamond norm for any energy observable $G$. Some properties of the maps belonging to the introduced cones are described. In particular, the corresponding generalization of the Kretschmann-Schlingemann-Werner theorem is obtained. We also give a nonconstructive description of the completion of the set of all Hermitian-preserving completely bounded linear maps w.r.t. the ECD norm.

研究の動機と目的

• 正の演算子 $G$ によって誘導されるエネルギー制約付きダイヤモンドノルム（ECDノルム）下での完全正値（CP）線形写像の錐の完備化を特徴づけること。
• 線形写像の2つの錐 $\mathfrak{F}_G(A,B)$（$\sqrt{G}$-有界作用素を用いたもの）および $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$（$\sqrt{G}$-無限小作用素を用いたもの）を定義し、それらを分析すること。
• ECDノルム下でのCP写像の錐の完備化が、正確に $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ に一致することを証明し、物理的エネルギー制約下での位相的閉包を保証すること。
• 任意のエネルギー観測量 $G$ に対して、量子チャネルおよび量子操作の集合がECDノルム下で完備であることの確立。
• スペクトル的条件を満たす $G$ の下で、エルミート保存完全有界写像の空間のECDノルム下での完備化の非構成的特徴づけを提供すること。

提案手法

• エネルギー制約付きダイヤモンドノルム（ECDノルム）を、トレースクラス作用素空間間の線形写像の距離として導入し、エネルギー観測量として正の演算子 $G$ を用いる。
• 2つの錐を定義する：$\mathfrak{F}_G(A,B)$ は $\sqrt{G}$-有界作用素を用いたスティンスプリング型表現により、$\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ は $\sqrt{G}$-無限小作用素を用いたものである。
• トレースクラス空間における作用素ノルム推定および収束議論を用いて、$\mathfrak{F}_G(A,B)$ および $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ がECDノルム下で完備であることを証明する。
• CP写像の錐がECDノルム下で完備化される先が正確に $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ であることを示し、後者がある種の位相的閉包であることを示す。
• Kraus型表現および正値性条件を用いて、$\mathfrak{F}_G(A,B)$ に属する写像に対して一般化されたKretschmann-Schlingemann-Wernerの定理を導出する。
• スペクトルが離散的で有限重複度を持つ場合に、エルミート保存完全有界写像の空間のECDノルム下での完備化 $\mathfrak{Y}_G(A,B)$ の非構成的記述を提供し、その正の錐が $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ に一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の演算子 $G$ によって誘導されるエネルギー制約付きダイヤモンドノルム下での完全正値線形写像の錐の完備化は何か？
• RQ2 $\mathfrak{F}_G(A,B)$ および $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ の錐は、ECDノルム下での元のCP写像の錐とどのように関係しているか？
• RQ3 一般化されたKretschmann-Schlingemann-Wernerの定理は、$\mathfrak{F}_G(A,B)$ に属する写像へと拡張可能か？また、それらの構造にどのような含意があるか？
• RQ4 任意のエネルギー観測量 $G$ に対して、量子チャネルまたは量子操作の集合はECDノルム下で完備か？
• RQ5 エルミート保存完全有界写像の空間のECDノルム下での完備化の構造は何か？また、その正の錐がいつ $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ と一致するか？

主な発見

• エネルギー観測量 $G$ によって誘導されるECDノルム下で、$\sqrt{G}$-有界作用素を用いたスティンスプリング型表現を持つ線形写像の錐 $\mathfrak{F}_G(A,B)$ は完備である。
• エネルギー観測量 $G$ によって誘導されるECDノルム下で、$\sqrt{G}$-無限小作用素を用いたスティンスプリング型表現を持つ写像の錐 $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ は、CP写像の錐のECDノルム下での完備化に一致する。
• 任意のエネルギー観測量 $G$ に対して、量子チャネルおよび量子操作の集合はECDノルム下で完備である。
• $\mathfrak{F}_G(A,B)$ に属するすべての写像に対して、ブロック行列表現における正値性条件を用いた一般化されたKretschmann-Schlingemann-Wernerの定理が成立する。
• エネルギー観測量 $G$ が離散スペクトルで有限重複度を持つとき、エルミート保存完全有界写像の空間のECDノルム下での完備化 $\mathfrak{Y}_G(A,B)$ の正の錐は $\mathfrak{F}_G^0(A,B)$ に一致する。
• ECDノルム下での $\mathfrak{Y}(A,B)$ の完備化に属する任意の写像 $\Phi$ に対して、$\|\Phi\|_{\diamond,E}^G = o(E)$ が $E \to \infty$ のとき成り立ち、エネルギーに比例する成長よりも小さい（非線形的）成長を示している。